Brownsk bevegelse er den tilfeldige bevegelsen observert i partikler funnet i et flytende medium ( væske eller gass ), som et resultat av kollisjoner med molekylene i nevnte væske. [ 1 ]
Dette transportfenomenet er oppkalt etter den skotske biologen og botanikeren Robert Brown . I 1827 , mens han så gjennom et mikroskop på partikler fanget i hulrom i et pollenkorn i vann, bemerket han at partiklene beveget seg gjennom væsken; men han var ikke i stand til å bestemme mekanismene som forårsaket denne bevegelsen. Atomer og molekyler var blitt teoretisert som komponenter av materie, og Albert Einstein publiserte en artikkel i 1905 , av ham betraktet som Annus Mirabilis ("fantastisk år", på latin ) hvor han forklarte i detalj hvordan bevegelsen som Brown hadde observert var resultat av at mikropartiklene flyttes av individuelle vannmolekyler. Denne forklaringen fungerte som et overbevisende bevis på at atomer og molekyler eksisterer, og ble eksperimentelt verifisert av Jean Perrin i 1908 . Perrin ble tildelt Nobelprisen i fysikk i 1926 for sitt arbeid med materiens diskontinuerlige struktur (Einstein hadde mottatt prisen fem år tidligere for tjenester til teoretisk fysikk med spesiell omtale av den fotoelektriske effekten ). Retningen til atombombardementkraften er i konstant endring, og i hvert øyeblikk blir partikkelen truffet mer på den ene siden enn den andre, noe som fører til bevegelsens tilfeldige natur.
Brownsk bevegelse er blant de enkleste stokastiske prosessene , og er beslektet med to andre enklere og mer komplekse stokastiske prosesser: den tilfeldige vandringen og Donskers teorem . Denne universaliteten er nært knyttet til universaliteten til normalfordelingen . I begge tilfeller er det ofte den matematiske bekvemmeligheten, snarere enn nøyaktigheten til modellene, som fører til bruk av normalfordelingen.
Både diffusjon og osmose er basert på Brownsk bevegelse.
Det vitenskapelige diktet On the Nature of Things , av romeren Lucretius (60 f.Kr.), inkluderer den bemerkelsesverdige beskrivelsen av den brownske bevegelsen til støvpartikler fra linjene 113 til 140. Forfatteren presenterte dette faktum som bevis på eksistensen av atomene:
Se hva som skjer når sollys slippes inn i en bygning og hvordan det kaster lys på mørke steder. Du kan se mengden av bittesmå partikler som beveger seg på en myriade av måter ... dansen deres er et snev av underliggende bevegelser av materie skjult for synet ... som får atomene til å bevege seg (dvs. spontant). Deretter blir de små organismene som blir slått ut av atomenes momentum satt i gang av usynlige slag og i sin tur mot bittesmå kanoner. Dermed kommer bevegelsen av atomer gradvis frem fra et nivå av følelse, at disse kroppene er i bevegelse som vi ser i solstrålen, beveget av åndedrag som virker usynlige. Om tingenes natur , LucretiusJan Ingenhousz beskrev den uregelmessige bevegelsen av pulveriserte karbonpartikler på overflaten av alkohol i 1785 . Oppdagelsen av Brownsk bevegelse er imidlertid tradisjonelt tilskrevet botaniker Robert Brown i 1827 . Brown antas å ha studert pollenpartikler fra planten Clarkia pulchella som flyter i vannet under et mikroskop. Inne i vakuolene til pollenkornene observerte han bittesmå partikler med nervøse bevegelser. Ved å gjenta forsøket med støvpartikler konkluderte han med at bevegelsen ikke skyldtes at pollenpartiklene var «levende», selv om han ikke forklarte opprinnelsen til bevegelsen.
Brownsk bevegelse ble først beskrevet matematisk av Thorvald N. Thiele i 1880 , i et papir om metoden for minste kvadrater . Den ble fulgt uavhengig av Louis Bachelier i 1900, i hans doktorgradsavhandling The Theory of Speculation , der en stokastisk analyse av aksje- og opsjonsmarkeder presenteres. Den Brownske bevegelsesmodellen for aksjemarkeder blir ofte sitert, men Benoit Mandelbrot avviste søknaden om aksjekursbevegelser, delvis fordi de er diskontinuerlige. [ 3 ]
Imidlertid var det den uavhengige studien av Albert Einstein i hans papir fra 1905 ( Über die von der molekularischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen / Om bevegelsen postulert av den kinetiske molekylære teorien om varme fra små partikler suspendert i en stasjonær væske ) der han viste løsningen for fysikere, som en rundvei for å bekrefte eksistensen av atomer og molekyler.
På den tiden var materiens atomare natur fortsatt en kontroversiell idé. Einstein og Marian Smoluchowski deduserte at hvis den kinetiske teorien om væsker var riktig, ville vannmolekyler ha tilfeldige bevegelser. Dermed kunne små partikler motta et tilfeldig antall treff, med tilfeldig kraft og fra tilfeldige retninger, i løpet av korte tidsrom. Dette tilfeldige bombardementet av væskemolekyler kan være nok til at små partikler kan bevege seg akkurat slik Brown hadde beskrevet. Theodor Svedberg gjorde viktige demonstrasjoner av Brownsk bevegelse i kolloider , det samme gjorde Felix Ehrenhaft med sølvpartikler i jordens atmosfære . Jean Perrin utførte også eksperimenter for å verifisere matematiske modeller, og ved å publisere sine endelige resultater avsluttet han en to tusen år lang strid om virkeligheten til molekyler og atomer .
Det er to deler av Einsteins teori: den første delen involverer formuleringen av en diffusjonsligning for Brownske partikler, der diffusjonskoeffisienten er relatert til rotmiddelkvadratforskyvningen til en Brownsk partikkel, mens den andre delen relaterer diffusjonskoeffisienten til målbare fysiske mengder. [ 4 ] På denne måten var Einstein i stand til å bestemme størrelsen på atomer, og antall atomer i en mol, eller molekylvekt (i gram), av en gass. [ 5 ] I følge Avogadros lov er dette volumet det samme for alle ideelle gasser, som er 22.414 liter ved standard temperatur og trykk. Antall atomer i dette volumet er kjent som Avogadros tall , og bestemmelsen av dette tallet tilsvarer å kjenne massen til et atom, siden sistnevnte oppnås ved å dele massen til en mol gass med antallet Avogadro.
Den første delen av Einsteins resonnement var å bestemme hvor langt en Brownsk partikkel beveger seg i et gitt tidsintervall. En Brownsk partikkel gjennomgår i størrelsesorden 10 14 kollisjoner per sekund. [ 6 ] Dette førte til at Einstein vurderte den kollektive bevegelsen til Brownske partikler.
Han betraktet inkrementet i partikkelens x -koordinat som en tilfeldig variabel ( x o , i kraft av koordinattransformasjonen som bringer origo til partikkelens startposisjon), med sannsynlighetstetthetsfunksjon . Videre, forutsatt bevaring av partikkelnummer, utviklet han tettheten (antall partikler per volumenhet) i Taylor-serien:
I det siste uttrykket er det første integralet 1 på grunn av normaliseringen av sannsynligheten og det andre integralet (og alle de av samme form som det er hevet til en oddetallseksponent i) er kansellert på grunn av symmetrien til . gjenstår da
Fra sammenligning av termer oppnås følgende forhold:
Det kan vises at når og har en tendens til 0, tenderer kvotienten i det siste integralet til en grense, som gjør det mulig å definere diffusjonskoeffisienten D :
Tettheten til de brownske partiklene tilfredsstiller diffusjonsligningen:
Forutsatt at N partikler starter fra origo ved starttidspunktet t = 0, har diffusjonsligningen løsningen
som er en normalfordeling av gjennomsnitt og varians . Variansen er gjennomsnittlig kvadratforskyvning, . Å ta kvadratroten viser at forskyvningen av en Brownsk partikkel ikke er proporsjonal med medgått tid, men med kvadratroten av tiden. [ 7 ] Ved å komme med denne typen utsagn om en partikkel fra oppførselen til en gruppe av partikler, blir det gjort et lite konseptuelt sprang som kan rettferdiggjøres. [ 8 ]
Den andre delen av Einsteins teori omhandler diffusjonskonstanten i fysisk målbare størrelser, slik som gjennomsnittlig kvadratisk forskyvning av en partikkel i et gitt tidsintervall. Dette resultatet tillater eksperimentell bestemmelse av Avogadros antall og derfor størrelsen på molekylene. Einstein analyserte en dynamisk likevekt som etableres mellom motstridende krefter. Det fine med argumentet hans er at sluttresultatet ikke avhenger av hvilke krefter som er involvert i å etablere dynamisk likevekt.
I sin opprinnelige behandling vurderte Einstein et osmotisk trykkeksperiment, men den samme konklusjonen kan nås på en annen måte.
Tenk for eksempel på partikler suspendert i en viskøs væske i et gravitasjonsfelt. Tyngdekraften har en tendens til å få partiklene til å sette seg, mens diffusjon virker for å homogenisere dem, og driver dem til områder med lavere konsentrasjon. Under påvirkning av tyngdekraften får en partikkel en nedadgående hastighet på v = μmg , der M er massen til partikkelen, g er akselerasjonen på grunn av tyngdekraften, og μ er mobiliteten til partikkelen i væsken. George Stokes hadde vist at mobiliteten til en sfærisk partikkel med radius R er , hvor η er den dynamiske viskositeten til væsken. I en tilstand av dynamisk likevekt er partiklene fordelt i henhold til den barometriske fordelingen
Der ρ-ρ 0 er forskjellen i tetthet av partikler atskilt med en høydeforskjell på h , k B er Boltzmanns konstant (det vil si forholdet mellom den universelle gasskonstanten , R , og Avogadros tall, N ), og T er absolutt temperatur. Det er Avogadros nummer som skal fastsettes.
Dynamisk likevekt etableres, fordi jo mer partiklene trekkes ned av tyngdekraften, jo større er tendensen for partiklene til å migrere til områder med lavere konsentrasjon. Fluksen er gitt av Ficks lover ,
hvor J = ρ v . Ved å bruke formelen for ρ finner vi det
I en tilstand av dynamisk likevekt må denne hastigheten også være lik v = μ mg . Merk at begge uttrykkene for V er proporsjonale med mg , og reflekterer hvordan utledningen er uavhengig av typen krefter som vurderes. Ved å likestille disse to uttrykkene, er dette uttrykket for diffusivitet avledet:
Her følger den første likheten fra den første delen av Einsteins teori, den tredje likheten følger av definisjonen av Boltzmanns konstant som kB = R /N , og den fjerde likheten følger av Stokes sin formel for Mobilitet. Ved å måle den gjennomsnittlige kvadratiske forskyvningen over et tidsintervall, sammen med den universelle gasskonstanten R , temperaturen T , viskositeten η, og partikkelradiusen r , kan Avogadros tall N bestemmes.
Typen dynamisk likevekt foreslått av Einstein var ikke ny. Det hadde tidligere blitt påpekt av JJ Thomson [ 9 ] i sin forelesningsserie ved Yale University i mai 1903 da den dynamiske likevekten mellom hastigheten generert av en konsentrasjonsgradient gitt av Ficks lov og hastigheten på grunn av partialtrykkvariasjon forårsaket når ioner er satt i bevegelse gir oss en metode for å bestemme Avogadros konstant som er uavhengig av eventuelle antakelser om formen eller størrelsen på molekylene, eller måten den ene virker på i forhold til den andre . [ 9 ]
Et uttrykk identisk med Einsteins formel for diffusjonskoeffisienten ble også funnet av Walther Nernst i 1888 [ 10 ] der han uttrykte diffusjonskoeffisienten som forholdet mellom det osmotiske trykket og forholdet mellom friksjonskraften og hastigheten det oppstår med. Førstnevnte er likestilt med Van't Hoffs lov , mens sistnevnte ble gitt av Stokes' lov . Han skriver for diffusjonskoeffisienten k' , hvor er det osmotiske trykket og k er forholdet mellom friksjonskraften og molekylær viskositet som han antar er gitt av Stokes formel for viskositet. Ved å introdusere den ideelle gassloven per volumenhet osmotisk trykk, blir formelen identisk med Einsteins. [ 11 ] Bruken av Stokes' lov i tilfelle av Nernst, så vel som i Einstein og Smoluchowski, er ikke strengt aktuelt siden den ikke gjelder for tilfellet hvor radiusen til sfæren er mindre sammenlignet med det frie banemediet. [ 12 ]
Først ble spådommene til Einsteins formel tilsynelatende tilbakevist av en serie eksperimenter av Svedberg mellom 1906 og 1907, som førte til at den forutsagte verdien av partikler ble erstattet med 4 til 6 ganger, og av Henri i 1908 som fant endringer 3 ganger større enn formelen som Einstein spådde. [ 13 ] Men Einsteins spådommer ble til slutt bekreftet av en serie eksperimenter utført av Chaudesaigues i 1908 og Perrin i 1909. Bekreftelsen av Einsteins teori utgjorde et empirisk fremskritt til den kinetiske teorien om varme. I hovedsak viste Einstein at bevegelse kan forutsies direkte fra den kinetiske modellen for termisk likevekt. Betydningen av teorien ligger i det faktum at den bekreftet den kinetiske teoriens beretning om termodynamikkens andre lov , som i hovedsak er en statistisk lov. [ 14 ]
Brownsk bevegelsesmodell av banen til en farget partikkel i vann. |
Tenk på en stor ball 10 meter i diameter. Se for deg denne ballen på en fotballstadion eller et annet overfylt område. Ballen er så stor at den holder seg over mengden. Folk slår ballen til forskjellige tider og retninger helt tilfeldig. Tenk nå på en kraft utøvd over en viss tid; vi kan forestille oss 20 personer som skyver til høyre og 21 til venstre, og at hver person utøver tilsvarende mengder kraft. I dette tilfellet er ikke kreftene som utøves på venstre og høyre side balansert, noe som favoriserer venstre side, så ballen vil bevege seg litt til venstre. Denne misforholdet eksisterer alltid, og det er det som forårsaker den tilfeldige bevegelsen. Hvis vi skulle observere situasjonen ovenfra, slik at vi ikke kunne se menneskene, ville vi se den store ballen som et objekt animert av uberegnelige bevegelser.
Nå tilbake til Browns pollenpartikkel som svømmer tilfeldig rundt i vannet. Et vannmolekyl er omtrent 0,1 til 0,2 nm, mens pollenpartikkelen Brown observerte var i størrelsesorden mikrometer (dette må ikke forveksles med dagens pollenpartikkel som er omtrent 100 mikrometer). Dermed kan pollenpartikkelen betraktes som en stor ball som konstant blir presset av vannmolekylene (mengden). Den brownske bevegelsen til partikler i en væske skyldes den umiddelbare ubalansen i kreftene som utøves av de små væskemolekylene som omgir partikkelen (som er i tilfeldig termisk bevegelse).
Smoluchowskis teori om Brownsk bevegelse [ 15 ] tar utgangspunkt i samme premiss som Einsteins og utleder den samme sannsynlighetsfordelingen ρ(x, t) for forskyvningen av en Brownsk partikkel langs x i en tid t . Derfor får du samme uttrykk for gjennomsnittet i annen: . Men når det er relatert til en partikkel med masse m som beveger seg med en hastighet u , som er et resultat av en friksjonskraft styrt av Stokes lov, finner han
hvor μ er viskositetskoeffisienten, og a er radiusen til partikkelen. Assosiasjonen av den kinetiske energien med den termiske energien RT/N , uttrykket for gjennomsnittlig forskyvning i annen er 64/27 ganger større enn det gitt av Einstein. Brøken 27/64 ble kommentert av Arnold Sommerfeld i Smoluchowskis nekrolog: "Einsteins numeriske koeffisient, som skiller seg fra Smoluchowski med 27/64, kan bare stilles spørsmål ved." [ 16 ]
Smoluchowski [ 17 ] forsøker å svare på spørsmålet hvorfor en Brownsk partikkel skal fortrenges ved bombardement av mindre partikler når sannsynligheten for å treffe den forover eller bakover er like. For å gjøre det bruker han uforvarende stemmeteoremet, først bevist av William Allen Whitworth i 1878 . [ 18 ] Stemmeteoremet sier at hvis kandidat A scorer m stemmer og kandidat B scorer n - M , er sannsynligheten over opptellingen for at A har flere stemmer enn B .
uansett hvor stort det totale antallet stemmer n måtte være . Med andre ord, hvis en kandidat har en fordel over den andre kandidaten, vil de ha en tendens til å opprettholde den fordelen selv om det ikke er noe i favør av noen av kandidatene ved en avstemning.
Hvis sannsynligheten for 'm' 'vinner' og n − M tap følger en binomialfordeling ,
med de samme sannsynlighetene på 1/2, a priori , er den totale gjennomsnittlige utbetalingen
Hvis n er stor nok til at Stirling-tilnærmingen kan brukes i skjemaet
da blir forventet total fortjeneste
viser at den øker som kvadratroten av den totale befolkningen.
Anta at en Brownsk partikkel med masse M er omgitt av lettere partikler med masse m , som beveger seg med hastighet u . Deretter begrunner Smoluchowski, i enhver kollisjon mellom omgivende partikler og Brownians, vil overføringshastigheten til sistnevnte være mu / M . Dette forholdet er i størrelsesorden 10 −7 cm/s. Men vi må også ta med i betraktningen at i en gass vil det være mer enn 10 16 kollisjoner i sekundet, og enda mer i en væske, hvor 10 20 kollisjoner per sekund er beregnet. Noen av disse kollisjonene vil ha en tendens til å akselerere den brownske partikkelen; andre for å bremse den. Hvis det er et gjennomsnittlig overskudd av en eller annen type kollisjon som er i størrelsesorden 10 8 til 10 10 kollisjoner per sekund, så kan hastigheten til den Brownske partikkelen være hvor som helst mellom 10 og 1000 cm/s. Dermed, selv om det er like sannsynligheter for å favorisere bevegelse fremover og bakover, vil det være en netto tendens til at kollisjonene holder partikkelen i Brownsk bevegelse, akkurat som stemmesetningen forutsier.
Disse størrelsesordene er ikke nøyaktige fordi de ikke tar hensyn til hastigheten til den brownske partikkelen, U , som avhenger av kollisjonene som har en tendens til å øke hastigheten og bremse den. Jo større U er , jo større kollisjoner vil bremse partikkelen, slik at hastigheten til en Brownsk partikkel aldri kan øke uten en grense. En prosess av denne typen kan oppstå, som vil tilsvare en evighetsbevegelse av den andre typen. Og siden energiekvivalens gjelder, vil den kinetiske energien til den Brownske partikkelen, i gjennomsnitt, være lik den kinetiske energien til væsken som omgir partikkelen, .
I 1906 publiserte Smoluchowski en endimensjonal modell for å beskrive en partikkel som gjennomgår Brownsk bevegelse. [ 19 ] Modellen antar kollisjoner med M ≫ m der M er massen til testpartikkelen og m massen til en av de individuelle partiklene som utgjør væsken. Det antas at partikkelkollisjoner er begrenset til én dimensjon og at det er like sannsynlig at partikkelen kan treffes fra venstre som fra høyre. Det antas også at hver kollisjon alltid gir samme størrelse på ΔV . Hvis N R er antall kollisjoner fra høyre, og N L fra venstre, vil etter N kollisjoner partikkelens hastighet ha endret seg med Δ V (2 N R − N ). Multiplisiteten er da gitt ved:
og det totale antallet mulige tilstander er gitt av 2N . Derfor er sannsynligheten for at en partikkel vil bli truffet fra høyre N R ganger
Som et resultat av sin enkelhet kan den endimensjonale Smoluchowski-modellen bare kvalitativt beskrive Brownsk bevegelse. For en ekte partikkel som gjennomgår Brownsk bevegelse i en væske, kan mange av antakelsene ikke gjøres. For eksempel bryter antakelsen om at det i gjennomsnitt er like mange kollisjoner fra høyre som fra venstre sammen når partikkelen er i bevegelse. Dessuten ville det være en fordeling av mulige forskjellige ΔV- er i stedet for bare én i en reell situasjon.
Ligningene som styrer Brownsk bevegelse forholder seg litt forskjellig til hver av de to definisjonene av Brownsk bevegelse gitt i begynnelsen av denne artikkelen.
I matematikk er Brownsk bevegelse beskrevet av Wiener-prosessen; en kontinuerlig stokastisk prosess oppkalt etter Norbert Wiener . Det er en av de mest kjente Lévy - prosessene (stokastiske cadlàg- prosesser med stasjonære uavhengige inkrementer ) og forekommer ofte i ren og anvendt matematikk, økonomi og fysikk .
Wiener Wt- prosessen er preget av fire fakta:
betegner normalfordelingen med forventet verdi μ og varians σ 2 . At tilstanden har uavhengige inkrementer betyr at hvis da og er tilfeldige uavhengige verdier.
En alternativ karakterisering av Wiener-prosessen er den såkalte Lévy-karakteriseringen , som indikerer at Wiener-prosessen nesten helt sikkert er en kontinuerlig martingal med W 0 = 0 og kvadratisk variasjon .
En tredje karakterisering er at Wiener-prosessen har en spektral representasjon som en serie av sinus hvis koeffisienter er uavhengige tilfeldige verdier . Denne representasjonen kan oppnås ved å bruke Karhunen–Loève-teoremet .
Wiener-prosessen kan konstrueres som grenseskalering av den tilfeldige vandringen , eller av andre diskrete-tids stokastiske prosesser med stasjonære uavhengige inkrementer. Dette er kjent som Donskers teorem . I likhet med den tilfeldige vandringen er Wiener-prosessen rekursiv i en eller to dimensjoner (som betyr at den nesten helt sikkert vender tilbake til et hvilket som helst fast nabolag av opprinnelsen uendelig mange ganger) mens den ikke er rekursiv i den tredje eller høyere dimensjonen. I motsetning til den tilfeldige vandringen, er den skalainvariant .
Tidsutviklingen av posisjonen til selve den brownske partikkelen kan grovt beskrives av Langevin-ligningen , en likning som involverer et tilfeldig kraftfelt som står for effekten av varmesvingninger i løsningsmiddelet på den brownske partikkelen. På lange tidsskalaer er matematisk Brownsk bevegelse godt beskrevet av en Langevin-ligning. På små tidsskalaer er treghetseffekter vanlige i Langevin-ligningen. Matematisk Brownsk bevegelse er imidlertid fri for slike treghetseffekter. Merk at treghetseffekter må tas i betraktning i Langevin-ligningen, ellers blir ligningen entall. Så ganske enkelt å fjerne treghet fra denne ligningen ville ikke gi en nøyaktig beskrivelse, men snarere en enestående oppførsel der partikkelen ikke beveger seg i det hele tatt.
Den matematiske fremstillingen av denne definisjonen tilsvarer ligningen som styrer tidsutviklingen av den sannsynlige tetthetsfunksjonen assosiert med diffusjonsligningen til en Brownsk partikkel, og til syvende og sist er det en partiell differensialligning .
Andre måter å få sin matematiske modell på anser en Brownsk bevegelse som en sentral Gauss-prosess med en kovariant funksjon for alle . Resultatet av en stokastisk prosess tilskrives Norbert Wiener , det ble bevist i sannsynlighetsteori , eksistert siden 1923, og er kjent som Wiener-prosessen . Mange viktige detaljer vises i innleggene hans.
Det er mange muligheter for å bygge en Brownsk bevegelse:
Dette fenomenet er også nært knyttet til simulering av aksjekursen.
Diffusjonsligningen gir en tilnærming av tidsutviklingen til sannsynlighetstetthetsfunksjonen assosiert med posisjonen til partikkelen som går under en Brownsk bevegelse i den fysiske definisjonen. Tilnærmingen er gyldig på korte tidsskalaer.
Forskyvningen av en partikkel som gjennomgår Brownsk bevegelse oppnås ved å løse diffusjonsligningen under passende forhold og oppnå rotmiddelkvadraten til løsningen. Dette viser at forskyvningen varierer som kvadratroten av tid (ikke lineært), noe som forklarer hvorfor tidligere eksperimentelle resultater angående hastigheten til Brownske partikler ga tull. En tidslineær avhengighet er dårlig antatt.
På svært korte tidsskalaer er imidlertid bevegelsen til en partikkel dominert av dens treghet, og dens forskyvning vil være lineært avhengig av tid : Δx = v Δt . Så den øyeblikkelige hastigheten til Brownsk bevegelse kan måles som v = Δx/Δt, når Δt << τ, hvor τ er avslapningstiden. I 2010 ble den øyeblikkelige hastigheten til en Brownsk partikkel (en glassmikrosfære fanget i luft med en optisk pinsett) målt med suksess. [ 20 ] Hastighetsdataene bekreftet Maxwell-Boltzmann hastighetsfordeling , og ekvartisjonsteoremet for en Brownsk partikkel.
Brownsk bevegelse kan modelleres ved en tilfeldig gange. [ 21 ] Tilfeldige vandringer i porøse medier er unormale. [ 22 ]
I generelle tilfeller er ikke Brownsk bevegelse en tilfeldig Markov-prosess og beskrives av de stokastiske integralligningene . [ 23 ]
Den franske matematikeren Paul Lévy foreslo følgende teorem, som gir en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for at en kontinuerlig stokastisk prosess med verdier i R n skal være en n -dimensjonal Brownsk bevegelse . Dermed kan Lévy-tilstanden brukes som en alternativ definisjon av Brownsk bevegelse.
La X = ( X 1 , ..., X n ) være en kontinuerlig stokastisk prosess i et probabilistisk rom (Ω, Σ, P ) som tar verdier i R n . De er likeverdige:
Den uendelige generatoren (og dermed den karakteristiske generatoren) for en Brownsk bevegelse på R n kan enkelt beregnes i ½Δ, der Δ betegner en Laplacian-operator . Denne observasjonen er nyttig når du definerer en brownsk bevegelse på en m - dimensjonal Riemannmanifold ( M , g ): en brownsk bevegelse M er definert som en diffusjon på M hvis karakteristiske operator på lokale koordinater x i , 1 ≤ i ≤ m , er gitt ved ½Δ LB , der Δ LB er Laplace–Beltrami-operatoren gitt på koordinatene av
hvor [ g ij ] = [ g ij ] −1 i betydningen en invers kvadratisk matrise .
I stjernedynamikk kan et massivt legeme ( stjerne , svart hull , etc.) oppleve Brownsk bevegelse når det reagerer på gravitasjonskrefter fra omkringliggende stjerner. [ 24 ] Rotmiddelkvadrathastigheten V til det massive objektet, med masse M , er relatert til rotmiddelkvadrathastigheten til bakgrunnsstjernene ved
hvor er massen til stjernebakgrunnen. Tyngdekraften til det massive objektet får nærliggende stjerner til å bevege seg raskere enn de ellers ville gjort, og øker med like mye som V. [ 24 ] Den Brownske hastigheten til Sgr A* , det supermassive sorte hullet i sentrum av Melkeveien , er hentet fra denne formelen, noe som resulterer i mindre enn 1 km s −1 . [ 25 ]
Problemet med den smale porten er et gjennomgående problem innen biologi, biofysikk og cellebiologi som har følgende formulering: en Brownsk partikkel ( ion , molekyl eller protein ) er begrenset til et avgrenset domene (et rom eller en celle) av en reflekterende grense , bortsett fra et lite vindu som han kan rømme gjennom. Det smale rømningsproblemet er å beregne den gjennomsnittlige rømningstiden. Denne tiden divergerer like mye som vinduet krymper, og reduserer dermed beregningen til et enkelt forstyrrelsesproblem .
Følgende utdrag er fra kapittel 34 i romanen Hopscotch , av Julio Cortázar :
Maga, vi komponerer en absurd figur, vi tegner med våre bevegelser en figur som er identisk med den som fluer trekker når de flyr i ett stykke, herfra til der, de snur seg plutselig, derfra til hit, det er det som kalles Brownoid-bevegelse, forstår du nå?, en rett vinkel, en linje som går opp, herfra til der, fra baksiden til fronten, opp, ned, krampaktig, stopper kort og starter i samme øyeblikk i en annen retning, og alt som går til å veve en tegning, en figur, noe ikke-eksisterende som deg og meg, som de to poengene som går tapt i Paris som går herfra til der, derfra til hit, tegner, danser for ingen, ikke engang for seg selv, en uendelig meningsløs figur.En annen roman der Brownsk bevegelse dukker opp er Isaac Asimovs An Amazing Journey , en roman der et team av forskere miniatyriseres i bakteriell skala og introduseres i en pasients blodstrøm i en ubåt, og beskriver møter med ulike elementer som celler, bakterier eller virus, omskiftelser der de lider under virkningene av nevnte bevegelse.