Boltzmann distribusjon

I statistisk mekanikk og matematikk er en Boltzmann-fordeling (også kalt en Gibbs-fordeling [ 1 ] ) en sannsynlighetsfordeling, sannsynlighetsmål eller frekvensfordeling av partikler i et system over flere mulige tilstander . Fordelingen er uttrykt i formen:

$F({\rm {state}})\propto e^{-{\frac {E}{kT}}}$

hvor E er energien til tilstanden (som varierer fra tilstand til tilstand), og kT (en konstant av fordelingen) er produktet av Boltzmanns konstant og den termodynamiske temperaturen .

I statistisk mekanikk er Boltzman-fordelingen en sannsynlighetsfordeling som gir sannsynligheten for at et system vil være i en sikker tilstand som en funksjon av energien til den tilstanden og systemets temperatur. Det er gitt som: [ 2 ]

$p_{i}={\frac {e^{-{\varepsilon }_{i}/kT}}{\sumj=1}^{M}{e^{-{\varepsilon } j /kT}}}}$

Der pi er sannsynligheten for tilstand i, εi energien til tilstand i, k Boltzmanns konstant , T systemets temperatur, og M er antall tilstander som er tilgjengelige for systemet. [ 3 ] Summen er over alle stater tilgjengelig for systemet av interesse. Ordet system har her en veldig vid betydning; som kan variere fra et enkelt atom til et makroskopisk system som en lagringstank for naturgass. På grunn av dette kan Boltzmann-distribusjonen brukes til å løse en lang rekke problemer. Fordelingen viser at statene med lavest energi alltid vil ha høyere sannsynlighet for å være okkupert enn statene med høyest energi. [ 3 ]

Forholdet mellom en Boltzmann-fordeling beregnet for to tilstander er kjent som Boltzmann -faktoren og avhenger karakteristisk bare av energiforskjellen til tilstandene.

${\frac {F({\rm {state_{1}}})}{F({\rm {state_{2}}})}}=e^{\frac {E_{1}-E_ {2}}{kT}}$

Den er gitt navnet Boltzmann-fordeling etter Ludwig Boltzmann , som først formulerte den i 1868 under sine studier av den statistiske mekanikken til gasser i termisk likevekt. Distribusjonen ble senere omfattende undersøkt, i sin moderne form, av Josiah Willard Gibbs i 1902. [ 4 ] : Ch.IV

Boltzman-fordelingen må ikke forveksles med Maxwell – Boltzmann-statistikken . Den første gir sannsynligheten for at et system vil være i en gitt tilstand som en funksjon av energien til den tilstanden. Når den brukes på partikler som atomer eller molekyler, viser den fordelingen av partikler over energitilstander. [ 3 ] Maxwell–Boltzmann-statistikken brukes til å beskrive hastighetene til partikler i idealiserte gasser.

Distribusjonen

Boltzmann-fordelingen er en sannsynlighetsfordeling som gir sannsynligheten for en viss østlig tilstand som funksjon av energien og temperaturen til systemet som fordelingen av den tilstanden gjelder for. [ 2 ] Det er gitt som:

$p_{i}={\frac {e^{-{\varepsilon }_{i}/kT}}{\sumi=1}^{M}{e^{-{\varepsilon } i /kT}}}}$

Der pi er sannsynligheten for tilstand i, εi energien til tilstand i, k Boltzmanns konstant, T systemets temperatur, og M er antallet av alle tilstander som er tilgjengelige for systemet. [ 2 ] [ 3 ] Summen er over alle stater tilgjengelig for systemet av interesse. Nevneren i ligningen ovenfor er også kjent som den kanoniske partisjonsfunksjonen , vanligvis representert av Q (eller av noen forfattere som Z).

$Q={\sumi=1}^{M}{e^{-{\varepsilon }_{i}/kT}}}$

Derfor kan Boltzman-fordelingen også skrives som:

$p_{i}={\frac {1}{Q}}{e^{-{\varepsilon }_{i}/kT}}$

Partisjonsfunksjonen kan beregnes hvis vi kjenner energiene til nivåene som er tilgjengelige for systemet av interesse. For atomer kan partisjonsfunksjonsverdier finnes i NIST Atomic Spectra-databasen. [ 5 ]

Fordelingen viser at tilstander med lavere energi alltid vil ha større sannsynlighet for å være okkupert enn tilstander med høyere energi. Det kan også gi oss det kvantitative forholdet mellom sannsynlighetene for at de to statene blir okkupert. Forholdet mellom sannsynlighetene for tilstandene i og j er gitt som:

${\frac {p_{i}}{p_{j}}}=e^{({\varepsilon }_{j}-{\varepsilon }_{i})/kT}$

Der pi er sannsynligheten for tilstand i, pj sannsynligheten for tilstand j , og εi og εi er energiene til henholdsvis tilstand i og j.

Fordelingen brukes ofte til å beskrive fordelingen av partikler, som atomer eller molekyler, over energitilstandene som er tilgjengelige for dem. Hvis vi har et system som består av mange partikler, er sannsynligheten for at en partikkel er i tilstand i praktisk talt sannsynligheten for at hvis vi velger en partikkel tilfeldig fra det systemet og sjekker hvilken tilstand den er i, vil vi finne at den er i staten i. Denne sannsynligheten er lik antall partikler i tilstand i delt på det totale antallet partikler i systemet, det vil si brøkdelen av partikler som opptar tilstand i.

$p_{i}={\frac {N_{i}}{N}}$

hvor N i er antall partikler i tilstand i og N er det totale antallet partikler i systemet. Vi kan bruke Boltzmann-fordelingen for å finne denne sannsynligheten som er, som vi har sett, lik brøkdelen av partikler som er i tilstand i. Så ligningen som gir brøkdelen av partikler i tilstand i som funksjon av energien til den tilstanden er [ 3 ]

${\frac {N_{i}}{N}}={\frac {e^{-{\varepsilon }_{i}/kT}}{\sum{i=1}^{M} { e^{-{\varepsilon }_{i}/kT}}}}$

Denne ligningen er av stor betydning for spektroskopi . I spektroskopi observerer vi en spektrallinje hvis atomer eller molekyler som vi er interessert i går fra en tilstand til en annen. [ 3 ] [ 6 ] For at dette skal være mulig, må det være noen partikler i den første tilstanden som gjennomgår overgangen. Vi kan finne at denne betingelsen er oppfylt ved å finne andelen av partikler i den første tilstanden. Hvis den er ubetydelig, blir overgangen mest sannsynlig ikke observert ved temperaturen som beregningen er gjort for. Generelt betyr en større andel av molekylene i den første tilstanden et større antall overganger i den andre tilstanden. [ 7 ] Dette gir en sterkere spektrallinje. Det er imidlertid andre faktorer som påvirker intensiteten til en spektrallinje, for eksempel om den er forårsaket av en forbudt overgang .

I kunstig intelligens

Boltzmann-maskinen er et Hopfield stokastisk nettverk med skjulte og tilbakevendende enheter som representerer informasjon fra en sannsynlighetsfordeling. Vektene initialiseres tilfeldig og nettverket lærer gjennom tilbake-propageringsalgoritmen .

I statistisk mekanikk

Boltzmann-fordelingen vises i statistisk mekanikk når isolerte (eller kvasi-isolerte) systemer med fast sammensetning som er i termisk likevekt (likevekt med hensyn til energiutveksling) undersøkes. Det mest generelle tilfellet er sannsynlighetsfordelingen for det kanoniske ensemblet, men også noen spesielle tilfeller (avledet fra det kanoniske ensemblet) viser også boltzman-fordelingen i forskjellige aspekter:

Canonical Ensemble (generelt tilfelle) Det kanoniske ensemblet gir sannsynlighetene for de forskjellige mulige tilstandene til et isolert system med fast sammensetning, i termisk likevekt med et varmebad. Det kanoniske settet er en sannsynlighetsfordeling med Boltzmann-formen. Statistiske frekvenser av stater i delsystemer (i en ikke-samvirkende samling) Når systemet av interesse er en samling av mange ikke-samvirkende kopier av et mindre delsystem, er det noen ganger nyttig å finne den statistiske frekvensen til en gitt delsystemtilstand blant samlingen. Det kanoniske ensemblet har egenskapen til separerbarhet når det brukes på en av slike samlinger: så lenge de interagerende delsystemene ikke har noen fast sammensetning, er hvert delsystem uavhengig av de andre og er også preget av et kanonisk ensemble . Som et resultat har den forventede statistiske frekvensfordelingen av delsystemtilstander Boltzmann-formen. Maxwell – Boltzmann klassisk gassstatistikk (systemer med ikke-samvirkende partikler) I partikkelsystemer deler mange partikler de samme romlige og vanlige utvekslingsstedene med hverandre; enkeltpartikkeltilstandsrommet de okkuperer er et delt rom. Maxwell – Boltzmann- statistikk gir forventet antall partikler funnet i en gitt enkeltpartikkeltilstand, i en klassisk gass av ikke-samvirkende partikler ved likevekt. Denne forventede tallfordelingen har Boltzmann-formen.

Selv om disse tilfellene har likheter, er det nyttig å skille mellom dem, da de generaliserer annerledes når avgjørende forutsetninger endres:

Når et system er i termodynamisk likevekt med hensyn til både energiutveksling og partikkelutveksling, lempes det faste sammensetningskravet og et grand canonical ensemble oppnås i stedet for et kanonisk ensemble. På den annen side, hvis sammensetningen og energien er faste, brukes et mikrokanonisk ensemble i stedet.
Hvis delsystemene i en samling samhandler med hverandre, følger ikke de forventede frekvensene til delsystemtilstandene lenger en Boltzman-fordeling, og har kanskje ikke engang en analytisk løsning. [ 8 ] Det kanoniske settet kan imidlertid fortsatt brukes på de kollektive tilstandene til hele systemet betraktet som en helhet, med tanke på at hele systemet er isolert og i termisk likevekt
Med ikke-interagerende partikkelkvantegasser i likevekt, følger ikke antall partikler funnet i en gitt partikkeltilstand Maxwell-Boltzman-statistikken, og det er ingen enkel lukket form for kvantegasser i det kanoniske ensemblet. I det store kanoniske ensemblet er tilstandsfyllingsstatistikken for kvantegasser beskrevet av Fermi-Dirac-statistikken eller Bose-Einstein-statistikken avhengig av om partiklene er henholdsvis fermioner eller bosoner .

I matematikk

I mer generell matematikk er Boltzmann-fordelingen også kjent som Gibbs-målet. I statistikk og maskinlæring kalles det en log-lineær modell. I dyp læring brukes Boltzmann-distribusjonen i samplingsdistribusjonen av stokastiske nevrale nettverk som Boltzmann- maskiner, begrensede Boltzmann-maskiner og dype Boltzmann-maskiner.

I økonomi

Boltzman-fordelingen kan innføres for å tildele tillatelser i kvotehandel. [ 9 ] [ 10 ] Den nye tildelingsmetoden som bruker Boltzman-fordelingen kan beskrives som den mest sannsynlige, naturlige og objektive fordelingen av utslippskvoter mellom flere land. Enkel og allsidig, denne nye metoden har potensial for mange økonomiske og miljømessige bruksområder.

Se også

Referanser

↑ Landau, Lev Davidovich ; og Lifshitz, Evgeny Mikhailovich (1980) [1976]. Statistisk fysikk . Kurs i teoretisk fysikk 5 (3. utgave). Oxford: Pergammon Press. ISBN 0-7506-3372-7 .
↑ a b c McQuarrie, A. (2000) Statistical Mechanics, University Science Books, California
↑ abcdef Atkins , PW (2010 ) Quanta , WH Freeman and Company, New York
↑ Gibbs, Josiah Willard (1902). Elementære prinsipper i statistisk mekanikk . New York: Charles Scribners sønner .
↑ Skjema for NIST Atomic Spectra Database Levels på nist.gov
↑ Atkins, PW; de Paula J. (2009) Physical Chemistry, 9. utgave, Oxford University Press , Oxford, Storbritannia
↑ Skoog, DA; Holler, FJ; Crouch, SR (2006) Principles of Instrumental Analysis, Brooks/Cole, Boston, MA
↑ Et klassisk eksempel på dette er magnetisk bestilling .
↑ Park, J.-W., Kim, CU og Isard, W. (2012) Tildeling av tillatelser i kvotehandel ved bruk av Boltzmann-distribusjonen.
↑ Det tornete problemet med rettferdig tildeling .