Pentagon

Pentagon
en vanlig femkant
Karakteristisk
Fyr	Vanlig polygon
sider	5
hjørner	5
symmetrigruppe	$D_{5}$ , bestill 2x5
Schlafli symbol	{5} (vanlig femkant)
Coxeter–Dynkin-komplott
dobbel polygon	selv-dual
Område	$A={\frac {a^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}$ (side ) $en$
innvendig vinkel	108°
Eiendommer
Konveks , isogonal , syklisk

I geometri kalles en polygon med fem sider og fem hjørner en femkant (fra gresk πεντάγωνον, fra πέντε pénte "fem" og γωνία gōnía "vinkel") .

Definisjon

En vanlig femkant er en som har alle sidene like og de indre vinklene kongruente .

Forslag

Hver innvendig vinkel måler 108 grader eller radianer . $3\pi /5$
- Den er konveks.
Hver ytre vinkel på den vanlige femkanten måler 72°.
Den har nøyaktig fem diagonaler.
En vanlig femkant kan skrives inn som omskrivende i begge omkretsentriske sirkler.
De to diagonalene som starter fra et felles toppunkt bestemmer tre trekanter etter hverandre i femkanten, en i midtdelen: likebenete, hvis like sider er diagonalene; to trekanter lik sidene til den forrige, er også likebente fordi de har like sider, to av sidene til den regulære femkanten.
Det interessante er at de to diagonalene treskjærer vinkelen fra hvis toppunkt de starter, siden hver vinkel måler 36°, hvis sum gir vinkelen ved toppunktet på 108°.

Egenskaper

Apotem

Apotemet , til en vanlig femkant av siden er [ 1 ] $a_{p}$ $L$

a_{p}={\frac {L}{2}}\cdot {\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}

Område

Arealet til en vanlig femkant på siden er $L$

A={\frac {5L^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{5}}={\frac {L^{2}}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\simeq 1.72048L^{2}

Eller, avhengig av radiusen til den omskrevne sirkelen , , $r$

A={\frac {5}{8}}\cdot r^{2}\cdot {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}

Å vel,

A={\frac {5}{2}}\cdot r^{2}\cdot \sin {72^{\circ }}

Og som en funksjon av apotem, [ 1 ] $a_{p}$

A=5a_{p}^{2}\cdot {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}

Perimeter

Omkretsen til en sideregulær femkant er $L$

P=5\cdot L

Eller, avhengig av apotem ( ), [ 1 ] $a_{p}$

P=10\cdot a_{p}\cdot {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}

Formel for beregning av innvendige vinkler

Summen av de indre vinklene til en femkant er 540°.

Den generelle formelen for å beregne summen av de indre vinklene til en vanlig polygon (i tilfellet med femkanten n = 5) er:

\sum {\alpha =}(n-2)\cdot 180^{\circ }=3\cdot 180^{\circ }=540^{\circ }

Den inkluderte vinkelen mellom to sider av en vanlig femkant kan beregnes ved hjelp av følgende formel (i femkanten, n = 5):

\alpha ={\frac {(n-2)}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {3}{5}}\cdot 180^{\circ }=108^ {\circ }

Bevegelser

Den vanlige femkanten er en symmetrisk figur med hensyn til aksen som inneholder en apotem og dens forlengelse som passerer gjennom toppunktet motsatt bunnen av apotem.
Det er fem symmetriakser
Fem tilfeller av rotasjon: 72°, 144°, 216°, 288° og 360° [ 2 ]

Konstruksjon av en vanlig femkant

En vanlig femkant kan konstrueres ved hjelp av et kompass og rette, enten ved å skrive inn en i en gitt sirkel eller ved å konstruere en på en gitt side. Euklid beskrev denne prosessen i sine Elementer , rundt 300 f.Kr. C. [ 3 ] [ 4 ]

En vanlig femkant, innskrevet i en sirkel (se figur), kan konstrueres med en linjal og kompass som følger:

Vi tegner to vinkelrette linjer gjennom midten O av omkretsen (PD og OQ i figuren). Vi bestemmer midtpunktet M av segmentet OQ og tegner linjen PM. Med sentrum i M tegner vi omkretsen av radius MO. La oss angi med R og S skjæringspunktene for denne omkretsen med linjen PM. Sirklene med sentrum ved P og radier PR og PS bestemmer toppunktene til den regulære femkanten.

Ved å forbinde toppunktene til femkanten oppnås et pentagram (5-spiss stjerne) innskrevet i den. I midten vil det være en annen vanlig femkant, så prosessen med å innskrive staver i de påfølgende femkantene som genereres, matematisk, har ingen ende.

Ved å skrive inn et pentagram i en vanlig femkant, kan det gylne forholdet mellom lengdene på de resulterende segmentene observeres.

Geometriske relasjoner til den vanlige femkanten

Forholdet til det gylne snitt

La oss se at forholdet mellom et segment som forbinder to av dets ikke-påfølgende hjørner og en av sidene av femkanten er det gylne snitt eller det gylne tallet , for eksempel at

CE=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)CD

Ved symmetri er segmentene CE og CA like. Vi legger merke til at trekanter ANF og CMF er like. Fra likheten mellom deres sider har vi det

{\frac {MC}{AN}}={\frac {FC}{AF}}

Merk at MC er halvparten av CE og AN er halvparten av AB. På den annen side, siden trekanten FCD er likebenet, har vi at FC = CD. Dermed kan vi skrive AF = AC - FC = CE - CD. Så

{\frac {EC}{CD}}={\frac {CD}{EC-CD}}={\frac {1}{EC/CD-1}}

Erstatter CE/CD for vi har $\phi$

\varphi ={\frac {1}{\varphi -1}}\qquad \,(1)

med andre ord . Denne ligningen beskriver det gyldne snitt. er det eneste positive tallet som når vi trekker fra enheten, får vi dens invers. $\varphi -1={\frac {1}{\varphi }}$ $\phi$

Noen betraktninger om trekanter

La oss vurdere en (vanlig) femkant og sirkelen som er omskrevet til femkanten. La oss tegne perpendikulæren gjennom midten av omkretsen til siden DA av femkanten og la M være skjæringspunktet mellom denne perpendikulæren med omkretsen, vinkelen AOB måler 360°/5=72° og vinkelen AOM er dens halvdel, det er 36°. Vinkelen MOB, summen av disse to er lik 108° og siden trekanten AOB er likebenet har vi det

Forholdet mellom segmentet MB og radius OM for omkretsen er det gylne snitt
$\angle BMO=(180^{\circ }-108^{\circ })/2=72^{\circ}/2=36^{\circ }$

La derfor P være skjæringspunktet mellom linjene OA og MB. Trekanten PMO er likebenet, og forholdet mellom radius OM og segmentet PM er det gylne snitt. Til slutt er trekant OBP også likebenet, så PB = OB ( =OM). Vi har : ${\frac {PM}{OM}}={\frac {1}{\varphi }}={\frac {MB-PB}{OM}}=\varphi -1$

Ovenstående kan tolkes som et geometrisk bevis på ligning (1).

Se også

Vedlegg: Ligninger av geometriske figurer
Sekskant
Oktagon
femkantet tessell

Referanser

↑ a b c Sapiña, R. «Kalkulator av arealet og omkretsen av den regulære femkanten» . Problemer og ligninger . ISSN 2659-9899 . Hentet 19. juni 2020 .
↑ Analogt tema i Birkhoff og Mac Lanes moderne algebra .
↑ George Edward Martin (1998). Springer, red. Geometriske konstruksjoner (på engelsk) . s. 6. ISBN 0-387-98276-0 .
↑ Euklids Elements of Geometry, bok 4, påstand 11 (Richard Fitzpatrick, overs. ) . 2008. s. 119. ISBN 978-0-6151-7984-1 .

Eksterne lenker

Wikimedia Commons har en mediekategori på femkanter .
Wiktionary har definisjoner og annen informasjon om femkant .
En mulighet for å kunne se eksakte femkanter ved hjelp av SVG finnes i Wikimedia Commons