I matematikk er en konstruerbar polygon en vanlig polygon som kan konstrueres med linjal og kompass . For eksempel kan en vanlig femkant konstrueres med rettekant og kompass mens en vanlig femkant ikke er det.
Problemet tilsvarer å dele en sirkel i like deler, kjent som en syklotomi . [ 1 ]
Konstruksjonen av vanlige polygoner med 3, 4, 5 og 15 sider, så vel som polygonene som ble oppnådd fra de forrige ved å multiplisere antall sider med en potens av to, var allerede kjent siden Euklid . Imidlertid var det ennå ikke funnet noen metode for å konstruere noen annen vanlig polygon, for eksempel heptagonen , og det var heller ikke engang kjent om en slik metode fantes.
Det første betydelige fremskrittet ble oppnådd 2000 år senere i 1796 av Gauss som viste at den vanlige polygonen med 17 sider eller heptadekagon kunne konstrueres med en rettkant og kompass. [ 2 ] Fem år senere utviklet han teorien om gaussiske perioder i sin bok Disquisitiones arithmeticae . Denne teorien tillot ham å formulere en tilstrekkelig betingelse for konstruerbarheten av vanlige polygoner:
[...] for å kunne dele sirkelen geometrisk i N deler, må N være 2 eller en høyere potens av 2, eller et primtall av formen 2 2 m + 1, eller produktet av flere primtall av denne formen, eller produktet av en eller flere slike primtall med 2 eller med en høyere potens av 2. Kort sagt kreves det at N ikke inkluderer noen odde primfaktorer som ikke er av formen 2 2 m + 1 eller noen primtallsfaktor av formen 2 2 m + 1 mer enn en gang. Gauss [ 3 ]Gauss antok at denne betingelsen også var nødvendig , men han ga ingen bevis for denne påstanden. Et fullstendig bevis ble gitt av Wantzel (1837) . [ 4 ]
Primtall av formen 2 2 m + 1 er kjent som Fermat-primtall . [ 5 ] De eneste kjente Fermat-primtallene er:
F0 =3, F1 = 5, F2 = 17 , F3 =257 og F4 = 65537 (sekvens A019434 i OEIS )Derfor er de vanlige polygonene som kan konstrueres med en rettlinje og kompass de som har et antall sider lik:
3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, … (sekvens A003401 i OEIS ),mens vanlige polygoner som ikke kan konstrueres med linjal og kompass er de som har et antall sider lik:
7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, … (sekvens A004169 i OEIS ).Konstruksjonene av den likesidede trekanten , den regulære firkanten og femkanten , den regulære sekskanten og den regulære femkanten har vært kjent siden antikken . [ 6 ]
Fra de forrige polygonene er det mulig å konstruere en vanlig polygon med dobbelt så mange sider som halverer hver indre vinkel . For eksempel kan en vanlig åttekant bygges fra torget.
Den vanlige sjukanten kan ikke konstrueres med rettekanter og kompass [ 7 ] siden 7 ikke er et Fermat - primtall . En regulær enneagon kan heller ikke konstrueres siden 9 har to like Fermat-primtall som divisorer .
Heptadekagon eller regulær polygon med 17 sider kan konstrueres med linjal og kompass [ 8 ] fordi 17 er et Fermat-primtall.
Vanlige polygoner på 257 (Den første konstruksjonen ble laget av Richelot (1832) [ 9 ] [ 4 ] ) og 65537 sider (den første konstruksjonen ble laget av Johann Gustav Hermes ble rapportert i 1894 [ 10 ] ).
Et ofte oversett problem med linjal- og kompasskonstruksjoner er at for mange polygoner er konstruksjoner umulige å bruke "ekte" linjaler og kompasser. For eksempel har det vist seg at det er "mulig" å konstruere en vanlig polygon med 65537 sider kun ved å bruke disse verktøyene. Men hvis vi skulle gjøre det med 1 cm lange sider, ville polygonen måtte være mer enn 200 m i diameter , og radiene til den innskrevne sirkelen i polygonen og den innskrevne sirkelen ville avvike med mindre enn 0, 25 mikrometer - omtrent bølgelengden til ultrafiolett lys . Det ville kreve et ultrafiolett kamera for å skille mellom denne polygonen og en sirkel, for ikke å snakke om skarpheten til blyanten som trengs for å tegne den. Konstruksjonen vil uansett være ekstremt kompleks, og er kun av teoretisk interesse.
Et annet problem som ofte utelates er at selv "ikke-konstruerbare" polygoner kan konstrueres, hvis en tilnærming til ønsket polygon er tilstrekkelig, i stedet for en nøyaktig representasjon. I virkeligheten, med ekte linjaler og kompass holdt av ekte hender og tegnet på ekte papir, er det beste som kan oppnås tilnærminger selv for såkalte "konstruerbare" polygoner. Et eksempel som tydelig illustrerer dette er følgende enkle konstruksjon av en vanlig sjukant :
Denne prosedyren vil konstruere en vanlig sjukant med presisjonen til en typisk blyant. Hvis radiusen til sirkelen er 50 mm , vil avstanden AD være 43.301 mm. Sidene på en vanlig sjukant skal være 43,388 mm, en forskjell på mindre enn 0,1 mm. Svært få elever, eller til og med tekniske tegnere, har blyanter eller kompass med så skarpe punkter.