Apotem

Apotemet [ 1 ] i den todimensjonale figuren til en vanlig polygon er den minste avstanden mellom sentrum og noen av sidene. Det er et segment hvis endepunkter er sentrum av en vanlig polygon og midtpunktet på en hvilken som helst av sidene, og den er alltid vinkelrett på den siden. [ 2 ]

I den tredimensjonale figuren til en vanlig pyramide kalles segmentet trukket fra toppunktet til midten av en hvilken som helst side av polygonen som danner basen også apotem eller pyramideformet apotem; samsvarer med høyden på hver trekantede flate i den vanlige pyramiden. [ 3 ]

Apothem og sagitta

Gitt en innskrevet polygon , er radius delt inn i to segmenter: apotem og sagitta ; dermed kan vi si at komplementet til apotemet er sagittaen, hvis forening er radius.

Hovedmål knyttet til apotemet og sagittaen

være en sirkel med sentrum $C$ $ELLER$

Fra "radius"

r=OQ

Og være en av sidene av den innskrevne regulære polygonen, med sider, hvis omkrets vi kjenner.

FM=l

n

Fra "apothem"

a=OK

Fra "sagitta"

s=KQ

Polygon side: $=l$
Apotem: $=a$
Sagitta: $=s$
Radio: $=r$
Polygonområde: $=A$
Antall sider: $n$

Deretter:

P=nl

, Y

A={\frac {Pa}{2}}

Larousse-ordboken definerer sagitta som delen av radiusen mellom midtpunktet av en sirkelbue og dens akkord .

Formler

Deretter er apotemet gitt av formelen: $OK=a$

a={\sqrt {r^{2}-\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}}}

Derfor, når verdien av apotem er beregnet, kan verdien av sagitta være kjent , siden . For sin del kan segmentet til den innskrevne vanlige polygonen beregnes fra formelen: $KQ=s$ $s=ra$ $FM=l$

l=2{\sqrt {s^{2}+2as}}

Hvis verdien av både apotemet ( ) og sagitten ( ) er ukjent, kan lengden på segmentet beregnes fra formelen: $en$ $s$ $FM=l$

{\frac {360^{\circ }}{2\cdot n}}=x

Hvor , er antall sider som den innskrevne vanlige polygonen har.

n

sin(x)=k

2\cdot r\cdot k=l

En sirkelbue

Det er også mulig å bestemme radius av sirkelen når en bue er gitt , hvis lengden på en akkord er kjent, og samtidig avstanden fra midtpunktet av akkorden til midtpunktet av buen bestemt av akkorden ved hjelp av formelen: $L$ $d$

r={\frac {(L/2)^{2}+d^{2}}{2d}}

eller den trigonometriske ligningen:

r={\frac {L}{2\sin \left(180^{\circ }-2\arctan {\frac {L}{2d}}\right)}}

Hvor:

den ene siden av polygonet , er lengden (se bilde).

=l

L

og sagitta er avstanden .

=s

d

Beregning av apotemet og sagitten i forskjellige regulære polygoner

En polygon hvis sider er like lange og alle dens indre vinkler er like, kalles en vanlig polygon , noe som innebærer at størrelsen på apotemet til den påfølgende " rektangulære polygonen " ikke er en kontinuerlig størrelse, men snarere er "hopp fremover".

{\frac {360^{0}}{2\cdot l_{n}}}=x^{0}

sin(x^{0})=k

2\cdot r\cdot k=l

a={\sqrt {r^{2}-\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}}}

ra=s

Hvor:

l_{n}=

antall sider av det vanlige polygonet.

l=

lengden på hver side av det vanlige polygonet.

r=

radius av omkretsen (for alle følgende øvelser radius )

r=10cm

a=

apotem.

s=

sagitta

Spesialtilfelle

Hvis du vurderer:

Den eneste trekanten har tre sider og tre hjørner.
At i euklidisk geometri er summen av de tre indre vinklene i en trekant 180°.
At det er vinkler, både 0º og 90º.

Så vi har rett til å gjøre et mentalt eksperiment , der en av de indre vinklene i trekanten måler 0º, og de resterende to måler 90º hver. I dette tilfellet vil en av sidene av trekanten måle 0 cm, og de resterende to har diameteren på omkretsen. I den trekanten, slik laget, vil vi visualisere to av dens overlappende sider. Med dette bryter vi ikke noen av de foregående postulatene.

Dette bekreftes av Thales andre teorem : " Hver vinkel som er skrevet inn i en halvsirkel er en rett vinkel ."

La det være et hvilket som helst punkt på diameterens omkrets , lik eller forskjellig fra punktene A og B. Da vil trekanten alltid være en rettvinklet trekant .

C_{x}

[AB]

ABC_{x}

Med andre ord kan vi si at Thales' teorem sier at hvis de tre toppunktene i en trekant er på en gitt sirkel , hvor en av sidene alltid er sirkelens diameter ; så vinkelen overfor denne siden er en rett vinkel .

Segmentet er diameteren til sirkelen . Diametre som for den innskrevne rettvinklet vil være hypotenusen med invariant karakter . $\left[AB\right]$ $ABC_{x}$
Det er også en annen konstant, som vi allerede har påpekt, gitt at fasorene på punktet alltid har , må vi anvende loven om cosinus , hvor og er fasorene (se kapabel bue ): $C_x$ $90^{0}$ ${_{\Delta }\,X}$ ${_{\Delta }Z}$

(hypotenuse)^{2}=

{_{\Delta }X^{2}}-2x{_{\Delta}X}x{_{\Delta }Z}x\cos 90^{0}+{_{\Delta }Z 2}}

Hypotenuse=

{\sqrt {{_{\Delta }X^{2}}-2x{_{\Delta }X}x{_{\Delta }Z}x\cos 90^{0}+{_{ \Delta }Z^{2}}}}

Tatt i betraktning at hver mengde multiplisert med null er null , kan vi eliminere denne delen av ligningen : $(\cos 90^{0}=0)$ $(-2x{_{\Delta}X}x{_{\Delta}Z}x\cos 90^{0})$

Hypotenuse=

{\sqrt {{_{\Delta }X^{2}}+{_{\Delta }Z^{2}}}}

Merk: Lengden på hypotenusen, i dette tilfellet, vil alltid være lik diameteren på omkretsen, og samtidig , på en slik måte at den variable lengden til fasorene og , kan beregnes – uansett plasseringen til punktet - siden enten ved trigonometriske , eller gjennom Pythagoras teorem : $\cos 90^{0}=0$ ${_{\Delta }X}$ ${_{\Delta }Z}$ $C_x$

{_{\Delta }\,X}=

{\sqrt {H^{2}-{_{\Delta}Z^{2}}}}

{_{\Delta }Z}=

{\sqrt {H^{2}-{_{\Delta}X^{2}}}}

Se mer bakgrunn om tidsutvidelse og lengdekontraksjon

Punktene , og blir overlappet av omkretsen av sirkelen, er kosykliske punkter . $EN$ $B.$ $C_x$
Hvis en node er et punkt som forblir fast for en gitt referanseramme, er punktene og noder like langt fra hverandre, som også deler omkretsen i to halvsirkler. $EN$ $B.$
Punktet kan være hvor som helst på omkretsen av en halvsirkel , til og med overlappende punktet eller punktet . $C_x$ $EN$ $B.$
Lengden på et ben nærmer seg null når dens tilstøtende vinkel nærmer seg null. Og på den annen side har lengden på det andre benet en tendens til å være lik verdien av hypotenusen .

Øvelse

Alt det ovennevnte lar oss starte beregningen av apotem og sagitta , for dette spesielle tilfellet:

sin(x^{\circ })=k

2\cdot r\cdot k=l

Hvor:

l=

lengden på hver side av det vanlige polygonet.

{\frac {360^{\circ }}{2\cdot 2}}=90^{0}

sin(90^{0})=1

Lengde på hver overlappende side

=2\cdot 10\cdot 1=20

Apotem

={\sqrt {10^{2}-\left({\frac {20}{2}}\right)^{2}}}

=0

Sagitta

=10-0=10

Dette spesielle tilfellet inneholder et paradoks , siden: det ikke er noen innskrevet regulær polygon til stede , og til tross for at den ikke eksisterer, kunne sagitta og apotem beregnes uten problemer. Vil apotemet og sagittaen være fremmed for de innskrevne regulære polygonene?

Visualiser, i dette spesielle tilfellet, hvilke egenskaper til det innskrevne regulære polygonet som er oppfylt og hvilke som ikke har:

Alle toppunktene til det innskrevne regulære polygonet er kosykliske punkter : denne egenskapen gjelder , siden omkretsen av sirkelen berører punktene , og . $EN$ $B.$ $C_x$
Sentrum av en regulær polygon er et punkt like langt fra alle toppunktene i polygonet: Denne egenskapen er også oppfylt , fordi midten av polygonet overlapper midten av sirkelen som innskriver den.
Alle de kosykliske punktene til det innskrevne regulære polygonet er like langt, og deler omkretsen av sirkelen i like deler: er denne egenskapen tilfredsstilt eller ikke?, punktet overlapper punktet , de har samme plassering, så de er like langt mellom Ja; Begge punktene er null avstand fra hverandre, men avstanden til punktet er ikke null. Punktene , og dele omkretsen av omkretsen i to like deler, når faktisk tre punkter skal dele den i tre deler. $C_x$ $EN$ $B.$ $EN$ $B.$ $C_x$
Vanlige polygoner er likesidede ; alle sidene har samme lengde: er ikke sant , siden en av sidene av polygonet har en lengde på 0, og de resterende to har diameteren på omkretsen som lengde.
Alle de indre vinklene til en vanlig polygon har samme mål, det vil si at de er kongruente: det er ikke sant , fordi en har 0º og de to andre har 90º.

Disquisitions

Tilsynelatende, for å beregne "apotemet" og "sagitten" er det nok å vurdere antall kosykliske poeng , som kan variere fra en til uendelig. I realiteten vil det være antall kosykliske poeng. $l_{n}$

{\frac {360^{\circ }}{2\cdot l_{n}}}=x^{\circ }

Og for dette tilfellet vil vi vurdere at vi har et enkelt kosyklisk punkt.

sin(x^{\circ })=k

2\cdot r\cdot k=l

Hvor:

l=

lengden på hver side av det vanlige polygonet.

{\frac {360^{\circ }}{2\cdot 1}}=180^{\circ }

sin(180^{\circ })=0

Lengde, i en rett linje, som skiller hvert kosykliske punkt, i dette tilfellet er det , siden vi i dette eksemplet bare har ett punkt.

2\cdot x\cdot 10\cdot x\cdot 0=0

Apotem

={\sqrt {10^{2}-\left({\frac {0}{2}}\right)^{2}}}

=10

Sagitta

=10-10=0

Tresidig regulær polygon ( trekant ) påskrevet

sina^{1}=V

2\cdot r\cdot k=l

Hvor:

l=

lengden på hver side av det vanlige polygonet.

{\frac {360^{0}}{2x3}}=60^{0}

sin(60^{0})=0,866025404

Lengden på hver side av den vanlige polygonen

=2\cdot x\cdot 10\cdot x\cdot 0.866025404=17.32050808

Apotem

={\sqrt {10^{2}-\left({\frac {17.32050808}{2}}\right)^{2}}}

=5

Sagitta

=10-5=5

Innskrevet firesidig regulær polygon ( firkant )

{\frac {360^{0}}{2x4}}=45^{0}

sin(45^{0})=0,7071068

Lengden på hver side av den vanlige polygonen

=2\cdot x\cdot 10\cdot x\cdot 0.7071068=14.14213562

Apotem

={\sqrt {10^{2}-\left({\frac {14.14213562}{2}}\right)^{2}}}

=7.071067812

Sagitta

=10-7.071067812=2.928932188

Innskrevet sekssidig regulær polygon ( sekskant )

{\frac {360^{0}}{2x6}}=30^{0}

sin(30^{0})=0,5000000

Lengden på hver side av den vanlige polygonen

=2\cdot x\cdot 10\cdot x\cdot 0,5000000=10

Apotem

={\sqrt {10^{2}-\left({\frac {10}{2}}\right)^{2}}}

=8.660254038

Sagitta

=10-8.660254038=1.339745962

Syvsidig regulær polygon ( heptagon ) påskrevet

{\frac {360^{0}}{2x7}}=25,71428^{0}

sin(25.71428^{0})=0.4338836

Lengden på hver side av den vanlige polygonen

=2\cdot x10\cdot x\cdot 0.4338836=8.677672985

Apotem

={\sqrt {10^{2}-\left({\frac {8.677672985}{2}}\right)^{2}}}

=9.00968909

Sagitta

=10-9.00968909=0.99031091

Åttesidig regulær polygon ( åttekant ) påskrevet

{\frac {360^{0}}{2x8}}=22,5^{0}

sin(22.5^{0})=0.3826834

Lengden på hver side av den vanlige polygonen

=2\cdot x\cdot 10\cdot x\cdot 0.3826834=7.653668647

Apotem

={\sqrt {10^{2}-\left({\frac {7.653668647}{2}}\right)^{2}}}

=9.238795325

Sagitta

=10-9.238795325=0.761204675

Innskrevet 360-sidig regulær polygon

{\frac {360^{0}}{2x360}}=0,5^{0}

sin(0,5^{0})=0,0087265

Lengden på hver side av den vanlige polygonen

=2\cdot x\cdot 10\cdot x\cdot 0.0087265=0.17453071

Apotem

={\sqrt {10^{2}-\left({\frac {0.17453071}{2}}\right)^{2}}}

=9.999619231

Sagitta

=10-9,999619231=0,000380769

Påskrevet Gugolgon

$Gugol=10^{100}$

I dette tilfellet har det store antallet sider av den vanlige polygonen en tendens til uendelig, og det er mer som en sirkel, så sagittaen har en tendens til null og apotem til lengden av radien .

{\frac {360^{\circ }}{2\cdot 10^{100}}}=\approx 0^{\circ }

sin\approx 0^{\circ }=\approx 0

Lengden på hver side av den vanlige polygonen

=2\cdot x\cdot 10\cdot x\cdot \approx 0=\approx 0

Apotem

={\sqrt {10^{2}-\left({\frac {\approx 0}{2}}\right)^{2}}}

=\approx 10

Sagitta

=10-(\approx 10)=\approx 0

Og hvis det er en googolplex , mye bedre enn større enn en googol . Men likevel er en googolplex fortsatt begrenset.

Referanser

↑ Royal Spanish Academy og Association of Academies of the Spanish Language. «Apotem» . Ordbok for det spanske språket (23. utgave). apotem. 'Perpendikulær fra midten av en vanlig polygon til en av sidene' og 'høyden på de trekantede flatene til en vanlig pyramide'. Det er feminint
↑ Ana Helvia Quintero, Nancy Costas (1994). geometri . Forlaget, UPR. s. 251 av 512. ISBN 9780847723454 . Hentet 12. januar 2022 .
↑ Manuela Blanco Sánchez, Marcial Carreto Sánchez, José Ma González Clouté (1997). Program for diversifisering av læreplaner. Vitenskapelig-teknologisk område . Tower Editions. s. 82 av 220. ISBN 9788479601867 . Hentet 12. januar 2022 .

Eksterne lenker

Ed Pegg, Jr. "Sagitta, Apothem, and Chord" . Wolfram - demonstrasjonsprosjektet . WolframResearch .
Matteordbok
6.- Sirkulære figurer:
Apotem