Øvre grense og nedre grense

I matematikk er øvre grense og nedre grense for en sekvens ( x n ) definert som den høyeste og laveste konvergerende grensen for undersekvensene til ( x n ). Analogt med dette er øvre grense og nedre grense for reelle funksjoner definert på samme måte. Den øvre grensen og den nedre grensen er en delvis erstatning for grensen , hvis den ikke eksisterer. Per definisjon kan den øvre grensen ikke overskrides.

Formell definisjon

Formelt er den nedre grensen for en sekvens definert som $(x_{n})$

\sup​​n\geq 0}\,\inf​​k\geq n}x_{k}=\sup\{\inf\{x_{k}:k\geq n\}:n\ geq 0\}

eller også som

\lim​​n\rightarrow \infty }\left(\inf​​k\geq n}x_{k}\right)

og er betegnet som eller som . Det er definert analogt . $\liminf{n\rightarrow \infty }x_{n}$ $\varliminf{n\rightarrow \infty }x_{n}$ $\limsup{n\rightarrow \infty }x_{n}=\varlimsup{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf{n\geq 0}\,\sup{k\ geq n}x_ {k}=\lim n\rightarrow \infty }\left(\sup k\geq n}x_{k}\right)$

Disse definisjonene er nyttige i et delvis ordnet sett i kvantitativ forstand, og forutsetter at supremum og infimum eksisterer. I et komplett gitternettverk eksisterer disse verdiene alltid, så i dette tilfellet har hver sekvens en tilhørende nedre grense og øvre grense.

Hvis det finnes den nedre grensen og den øvre grensen for en sekvens , holder den det $(x_{n})$ $\liminf{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq \limsup{n\rightarrow \infty }x_{n}\;.$

I tillegg er det verifisert at hvis grensen for sekvensen eksisterer, er den lik både den nedre grensen og den øvre grensen.

Bibliografi

Heinz Bauer: Mass- og integrasjonsteori . 2. De Gruyter Verlag, Berlin 1992, ISBN 3-11-013626-0 (Standardutgave), ISBN 3-11-013625-6 (Paperback-utgave), s. 93 (i Sekvenser av sett ).