Logisk ekvivalens

I logikk er setningene p og q logisk ekvivalente hvis de har samme logiske innhold. Dette er et semantisk konsept , to utsagn er likeverdige hvis de har samme sannhetsverdi i alle modeller (Mendelson 1979:56). Den logiske ekvivalensen til p og q uttrykkes noen ganger som , E pq , eller det

Logiske ekvivalenser

La T være en logisk sannhet og F en logisk falskhet:

Ekvivalens Navn
p∧ T ≡p
p∨ F ≡p		 identitetslover
p∨ T ≡ T
p∧ F ≡ F		 lover om herredømme
p∨p≡p
p∧p≡p		 idempotenslover
﹁(﹁p)≡p doble negative lover
p∨q≡q∨p
p∧q≡q∧p		 kommuteringslover
(p∨q)∨r≡p∨(q∨r)
(p∧q)∧r≡p∧(q∧r)		 foreningslover
p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r)
p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r)		 Distribusjonslover
﹁(p∧q)≡﹁p∨﹁q
﹁(p∨q)≡﹁p∧﹁q		 De Morgans lover
p∨(p∧q)≡p
p∧(p∨q)≡p		 Absorpsjonslover
p∨﹁p≡ V
p∧﹁p≡ F		 lover om fornektelse

Logiske ekvivalenser som involverer betingede utsagn:

  1. p→q≡﹁p∨q
  2. p→q≡﹁q→﹁p
  3. p∨q≡﹁p→q
  4. p∧q≡﹁(p→﹁q)
  5. ﹁(p→q)≡p∧﹁q
  6. (p→q)∧(p→r)≡p→(q∧r)
  7. (p→q)∨(p→r)≡p→(q∨r)
  8. (p→r)∧(q→r)≡(p∨q)→r
  9. (p→r)∨(q→r)≡(p∧q)→r

Logiske ekvivalenser som involverer bibetingelser:

  1. p↔q≡(p→q)∧(q→p)
  2. p↔q≡﹁p↔﹁q
  3. p↔q≡(p∧q)∨(﹁p∧﹁q)
  4. ﹁(p↔q)≡p↔﹁q

Eksempel

Følgende to påstander er logisk likeverdige:

  1. Hvis Lisa er i Frankrike , er hun i Europa (i symboler, ).
  2. Hvis Lisa ikke er i Europa, så er hun ikke i Frankrike (i symboler, ).

Syntaktisk kan (1) og (2) utledes fra hverandre gjennom regelen om kontraposisjon og dobbel negasjon . Semantisk er (1) og (2) sanne i nøyaktig de samme modellene (tolkninger, verdivurderinger); nemlig de der Lisa er i Frankrike er falske eller Lisa er i Europa er sant.

(Merk at klassisk logikk er antatt i dette eksemplet . Noen ikke-klassiske logikker anser ikke (1) og (2) som logisk likeverdige.)

Forholdet til materiell ekvivalens

Logisk ekvivalens er forskjellig fra materialekvivalens. Materialekvivalensen til p og q (skrevet mange ganger p ↔ q ) er i seg selv et annet utsagn, kall det r, på samme objektspråk som p og q. r uttrykker ideen om " p hvis og bare hvis q ". Spesielt kan sannhetsverdien til p ↔ q endres fra en modell til en annen.

Utsagnet om at to formler er logisk likeverdige er en metaspråkutsagn , som uttrykker en relasjon mellom to utsagn p og q . Utsagnet om at p og q er semantisk ekvivalente avhenger ikke av noen spesiell modell, men sier heller at i alle mulige modeller vil p ha samme sannhetsverdi som q . Påstanden om at p og q er syntaktisk ekvivalente er ikke avhengig av modeller i det hele tatt, men hevder i stedet at det er en deduksjon av q fra p og en deduksjon av p fra q .

Det er en nær sammenheng mellom materiell ekvivalens og logisk ekvivalens. Formlene p og q er syntaktisk ekvivalente hvis og bare hvis p ↔ q er et teorem, mens p og q er semantisk ekvivalente hvis og bare hvis p ↔ q er sann i alle modeller (det vil si at p ↔ q er logisk gyldig ).

Se også

Referanser