Separerbar plass

I topologi er et topologisk rom et separerbart rom hvis det inkluderer en tellelig tett delmengde .

Et Hilbert-rom kan separeres hvis og bare hvis det innrømmer en tellbar ortonormal basis .

Separerbare Hilbert-mellomrom

La være et atskillelig Hilbert-rom. Hvis { e k } k ∈ B er en tellbar ortonormal basis av H , så kan hvert element x i H skrives som $(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$

x=\sum​​k\in B}\langle e_{k},x\rangle e_{k}

Denne summen kalles også Fourier-utvidelsen av x .

Eksempler på Hilbert-rom er med eller rommet til komplekse kvadrat-summerbare sekvenser og rommet til kvadrat-integrerbare funksjoner i Lebesgue-forstand . Et stort utvalg av Hilbert-rom som forekommer i praksis er separerbare og er spesielt rom og hovedprototyper av Hilbert-rom, siden hvert separerbart Hilbert-rom med endelig dimensjon er isomorft , mens hvert separerbart Hilbert-rom med uendelig dimensjon er isomorft til . $\mathbb {K}<n}\,$ $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ $\mathbb {K} =\mathbb {C} ,$ $\ell 2}(\mathbb {K} )$ $L^{2}(\mathbb {R}<n}).$ $\mathbb {K}<n}$ $\ell 2}(\mathbb {K} )$ $n\,$ $\mathbb {K}<n}$ $\ell 2}(\mathbb {K} )$

Eksempler

Brytbare mellomrom

Settet med reelle tall R med den vanlige topologien kan separeres fordi settet med rasjonelle tall Q er en tellbar tett delmengde. Generelt er det euklidiske rommet R n separerbart siden Q n er tett og tellbar siden det er produktet av tellbare sett.
På samme måte er settet med komplekse tall C separerbart, og generelt er det euklidiske rommet C n også separerbart.

Hvert tellbare topologiske rom kan separeres.
Settet med kontinuerlige funksjoner på intervallet [0,1] kan også separeres.
Egenskapen til å være separerbar er ikke arvelig generelt, det vil si at det er separerbare topologiske rom med ikke-separerbare underrom. Hvis et metrisk rom er separerbart, på den annen side, er alle dets underrom også separerbare.

Ikke-separerbare Hilbert-mellomrom

Settet med alle reelle funksjoner , som bare ikke er null på et begrenset eller tellbart sett med punkter S f slik at: $f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

$\sumx\in S_{f}}|f(x)|^{2}<\infty$

Det utgjør et ikke-separerbart Hilbert-rom, utstyrt med skalarproduktet mellom to funksjoner f og g :

$\langle f,g\rangle =\sumS_{f}\cap S_{g}}{\overline {f(x)}}g(x)$

Nødvendigvis er disse funksjonene til dette Hilbert-rommet ikke kontinuerlige, siden de normerte rommene til kontinuerlige reelle funksjoner definert i alltid er separerbare. $\mathbb {R}<n}$