Svak formulering av en differensialligning

Den svake formuleringen (eller variasjonsformuleringen ) av et problem definert av differensialligninger er en alternativ måte der nevnte ligninger er skrevet i integrert form, noe som gir opphav til ligninger som kan behandles med metodene for lineær algebra på et uendelig dimensjonalt vektorrom eller funksjonelt rom .

Deretter introduseres den svake formuleringen generelt, noen eksempler er gitt og hovedsetningen til den svake formuleringen presenteres: Lax-Milgram-teoremet, som lar oss sikre eksistensen og enheten til en bred klasse av problemer i svak form.

Introduksjon

Tenk på en differensialligning og grensebetingelser for formen:

( 1a ) ${\begin{cases}{\mathcal {D}}(u)=f\\u|_{\Gamma }=u_{0},\qquad u:\Omega \to \mathbb {R} ^ {n}\qquad \Gamma \subset \partial \Omega \end{cases}}$

Hvor:

{\mathcal {D}}

er en differensialoperator .

eller\,

er den ukjente matematiske funksjonen eller løsningen som søkes for differensialligningen.

F\,

er en kjent matematisk funksjon som tjener til å definere problemet (i en mekanisk oppgave definerer den vanligvis kreftene, i et termisk problem varmen strømmer eller temperaturene osv.).

For å finne den svake formen til det forrige problemet må vi anta visse rimelige forhold på løsningen, spesifikt må vi anta at den kjente funksjonen og den ukjente funksjonen hver tilhører et rom av funksjoner ( ) som har en struktur av refleksiv Banach mellomrom ( ). Mer spesifikt er den vanlige hypotesen at Banach-rommet som den ukjente funksjonen tilhører, er et underrom av det doble rommet til . Etter å ha gjort disse presisjonene, kan problemet ( 1 ) formuleres som: $f\in V_{f}$ $u\in V_{u}$ $V_{f},V_{u}$ $V_{u}=V_{u}''\land V_{f}=V_{f}''$ $V_{u}\subset V_{f}'$ $V_{f}\,$

( 1b ) $\mathbf {A}{\mathcal {D}}u=f\in V_{u}'$ ,

Hvor:

\mathbf {A}{\mathcal {D}}:V_{u}\to V_{u}'

og er dobbeltrom av .

f\in V_{u}'

V_{u}\,

Formulert på denne måten er problemer ( 1a ) og ( 1b ) i hovedsak likeverdige og like vanskelige. Den svake formen av problemet er hentet fra variasjonsregningen som forteller oss at hvis det er en løsning av ( 1b ), så er det også en løsning av problemet ( 2a ): $eller\,$

( 2a ) $[\mathbf {A}\mathcal {D}}(u)](v)=f(v),\forall v\in V_{u}$ .

Funksjonene kalles testfunksjoner og settet med alle genererer Banach-rommet . Når operatoren er lineær kan problemet ( 2a ) skrives i bilineær form som: $w\,$ $V_{u}\,$ $\mathbf {A}{\mathcal {D}}$ $a(\cdot ,\cdot ):V_{u}\ ganger V_{u}\to \mathbb {R}{n}$

( 2b ) $a(u,v)=f(v)\quad \for alle v\in V,$

hvor den bilineære formen er gitt av:

$a(u,v):=[\mathbf {A}{\mathcal {D}}u](v).$

Siden introduksjonen ovenfor sannsynligvis er veldig abstrakt, er det nyttig å introdusere noen eksempler for å illustrere det.

Eksempler

I denne delen er de tidligere resultatene spesifisert til to enkle tilfeller: Poisson-ligningen som, når den er uttrykt i svak form, gir opphav til et elliptisk variasjonsproblem definert på Sobolev-rommet og tilfellet med det lineære elastiske problemet.

Poissons ligning

La oss vurdere Poissons ligning i det såkalte Dirichlet-problemet :

( 3a ) ${\begin{cases}-\Delta u=f\\u:\Omega \to \mathbb {R} ,&u=0\ {\mbox{en}}\ \partial \Omega \end{cases} }$

hvor domenet . En vanlig eller "sterk" løsning på problemet ovenfor er en funksjon: $\Omega \subset \mathbb {R}<d}$

$u\in C^{2}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})$

For å omformulere dette problemet svakt, må vi imidlertid introdusere en tilleggsstruktur for riktig å definere funksjonsrommene som et i hovedsak tilsvarende problem vil bli stilt over. Vi definerer først det typiske skalarproduktet av rommet L 2 (Ω) : $(\cdot ,\cdot )$

$(u,v)=\int\Omega }uv\,dx$

Nå utleder vi den svake formen, multipliserer ligningen ( 3a ) med en differensierbar funksjon vi har: $w\,$

$-\int\Omega }\Delta uv\,dx=\int\Omega }fv\,dx$ .

Forutsatt at funksjonen er kompakt støtte inneholdt i det indre domenet Ω, og integreres med deler , har vi: $w\,$

$\int\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int\Omega }fv\,dx.$

Siden funksjonen er vilkårlig, har vi at hvis u er en "sterk" løsning av ( 3a ) så vil den også være en "svak" løsning av ( 3b ): $w\,$

( 3b ) $a(u,v)=f(v)\,$

Hvor funksjonene er definert:

${\begin{cases}a(u,v):\int\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx,&a(\cdot ,\cdot ):H_{0}^{ 1}(\Omega )\ ganger H_{0}^{1}(\Omega )\to \mathbb {R} \\f(v):=\int\Omega }fv\,dx&f:L^{ 2}(\Omega )\to \mathbb {R} \end{cases}}$

Likningsformen ( 3b ) er nettopp den "svake formen" av Poissons ligning over Sobolev-rommet . Interessen for den svake formen er at for problemer av praktisk interesse kan løsningen beregnes ved finite element-metoden uten ytterligere komplikasjoner, selv når en analytisk løsning av ( 3a ) ikke er lett å finne for et gitt domene. $H_{0}^{1}(\Omega )\subset L^{2}(\Omega )$

På samme måte forklarer fremgangsmåten ovenfor også begrepene "svak form" og "svak løsning": Gitt en "sterk" løsning av ( 3a ) så er det også en løsning av ( 3b ), selv om en løsning av ( 3b ) strengt tatt ikke er en løsning av ( 3a ) med mindre nevnte løsning er en dobbelt differensierbar funksjon, selv om det i distribusjonsforstand er en "svakere" løsning i den forstand.

Elastisk problem

Det lineære elastiske problemet angitt i form av partielle differensialligninger består det elastiske problemet av følgende ligninger:

( 4a ) ${\begin{cases}-{\mbox{div}}{\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {f} \\{\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {C} {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\\{\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )={\frac {1}{2}}({\boldsymbol {\nabla }}\ noen ganger \mathbf {u} +\mathbf {u} \otimes {\boldsymbol {\nabla }})\end{cases}}$

La nå være domenet , og la være dekomponeringen av konturen til domenet, , som er åpne og usammenhengende sett ( ) der Dirichlet- og Von Neumann-forholdene råder i hvert av disse to områdene: $\scriptstyle \Omega \subset \mathbb {R}<n}$ $\scriptstyle \partial \Omega ={\bar {\Gamma}}_{u}\cup {\bar {\Gamma}}_{g}$ $\scriptstyle \Gamma{u},\Gamma{g}$ $\scriptstyle {\Gamma }_{u}\cap {\Gamma }_{g}=\varnothing$

( 4b ) ${\begin{cases}\mathbf {u} =0&{\mbox{en}}\ \Gamma{u}\\{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {n} )=\mathbf { g} &{\mbox{en}}\ \Gammag}\end{cases}}$

Problemet i variasjonsform problemet er uttrykt som:

( 4c ) $a(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\langle \ell ,\mathbf {v} \rangle ,\qquad \forall \mathbf {v} \in V$

Hvor:

a(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\int​​\Omega }\mathbf {C} {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} ):{\boldsymbol { \varepsilon }}(\mathbf {u} )\ d\Omega

, er en bilineær form på det funksjonelle rommet der problemet er stilt.

\langle \ell ,\mathbf {v} \rangle =\int​​\Omega }\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} \ d\Omega +\int​​\Gamma​​g} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {v} \ d\omega

Lax – Milgram teorem

Lax-Milgram-teoremet garanterer eksistensen og unikheten til den svake formen til forskjellige elliptiske ligninger i andre ordens partielle derivater . Hans uttalelse sier at:

Gitt et Hilbert-rom og en bilineær form som er -elliptisk og kontinuerlig, og en avgrenset lineær funksjonell . Så problemet: $\scriptstyle V$ $\scriptstyle b:V\ ganger V\to \mathbb {R}$ $\scriptstyle V$ $\scriptstyle \ell :V\to \mathbb {R}$

b(u,v)=\langle \ell ,v\rangle ,\quad \forall v\in V

har en unik løsning , og det eksisterer en konstant som ikke er avhengig av slik at: $\scriptstyle u\in V$ $\scriptstyle c>0$ $\scriptstyle \ell$

\|u\|\leq c\|\ell \|

Det forrige teoremet kan generaliseres på flere måter, en av dem endrer likheten til en ulikhet. For eksempel krever variasjonsformuleringen av et elastoplastisk problem bruk av elliptiske variasjonsulikheter (ulikheter). En elliptisk variasjonsulikhet av den andre typen ( IVE2 ) har formen:

( IVE2 ) $b(u,vu)+j(v)-j(u)\geq \langle \ell ,vu\rangle ,\quad \forall v\in V$

Hvis den forsvinner identisk, har vi en elliptisk ulikhet av den første typen. For denne typen generalisering har vi følgende generalisering av Lax-Milgram-teoremet: $\scriptstyle j(\cdot )$

Gitt et Hilbert-rom og en bilineær form som er -elliptisk og kontinuerlig, og en avgrenset lineær funksjonell og en konveks nedre semikontinuerlig egentlig funksjonell på V, så har problemet ( IVE2 ) en unik løsning $\scriptstyle V$ $\scriptstyle b:V\ ganger V\to \mathbb {R}$ $\scriptstyle V$ $\scriptstyle \ell :V\to \mathbb {R}$ $\scriptstyle j:V\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}$

Denne teoremet bruker Banachs fastpunktsteorem i sitt bevis . I tillegg er en funksjonell som ikke nødvendigvis er avgrenset riktig hvis den i det minste på et tidspunkt er begrenset, og den er underordnet semikontinuerlig hvis følgende gjelder for en konvergent sekvens: $\scriptstyle j(\cdot )$ $\scriptstyle \{x_{n}\}\to x$

$\limn\to \infty }\inf j(x_{n})\geq j(x)$

Referanse

Bibliografi

P. G. Ciarlet (1978): The Finite Element Method for Elliptic Problems , Nord-Holland, Amsterdam, 1978.
PG Ciarlet (1991): "Basic error estimates for elliptic problems" i Handbook of Numerical Analysis (Vol II) JL Lions og PG Ciarlet (red.), North-Holland, Amsterdam, 1991, s. 17-351.