Generell topologi

I matematikk er generell topologi grenen av topologi som omhandler de grunnleggende settteoretiske definisjoner og konstruksjoner som brukes i topologi . Den inneholder det grunnleggende om de fleste andre grener av topologi, inkludert differensiell topologi , geometrisk topologi og algebraisk topologi .

De grunnleggende begrepene i generell topologi er kontinuitet , kompakthet og forbindelse :

Ideene 'nær', 'vilkårlig nær' og 'langt' kan uttrykkes nøyaktig ved å bruke de åpne settene . Hvis vi endrer hvilke sett som er åpne, endrer vi hvilke funksjoner som er kontinuerlige og hvilke sett som er kompakte og/eller sammenkoblede. Hvert valg av "åpne sett" kalles en topologi . Et sett utstyrt med en topologi kalles et topologisk rom .

Metriske rom er en viktig klasse av topologiske rom der avstander kan tildeles et tall, kalt metrikk . Eksistensen av en metrikk forenkler de fleste bevis, og mange av de vanligste topologiske rommene er også metriske rom.

Historie

Den generelle topologien ble utviklet takket være flere områder, de viktigste er:

Generell topologi nådde den formen vi kjenner i dag rundt 1940. Stort sett alt er fanget i en passende form av forestillingen om kontinuitet , som kan brukes i ethvert område av matematikken.

La X være en mengde og la τ være en familie av delmengder av X. τ sies å være en topologi hvis : [ 1 ] ​[ 2 ]

  1. Det tomme settet og X er elementer av τ
  2. Enhver forening av elementer av τ er et element av τ
  3. Ethvert skjæringspunkt mellom et begrenset antall elementer av τ er et element av τ

Hvis τ er en topologi på X , så sies paret ( X , τ ) å være et topologisk rom. Notasjonen X τ kan brukes til å betegne et sett X utstyrt med den spesielle topologien τ .

Vi kaller elementene i τ de åpne mengdene i X. En delmengde av X sies å være lukket hvis komplementet tilhører τ (det vil si at komplementet er åpent). En delmengde av X kan være åpen, lukket, begge ( clopen sett ), eller ingen av delene. Det tomme settet og X er alltid både åpne og lukkede.

En basis B for et topologisk rom ( X,τ ) er en samling åpne mengder i τ slik at hvert åpent sett i τ kan skrives som en forening av elementer av B . Vi sier at basisen genererer topologien τ . Basis er nyttig fordi mange egenskaper til en topologi kan skrives bare i form av et grunnlag som genererer den topologien, og fordi det i mange tilfeller er lettere å definere en topologi i form av et grunnlag som genererer den. [ 3 ]​ [ 4 ]

Underrom, produkt og kvotient

En delmengde av et topologisk rom kan sees på som et topologisk rom ved å gi det sportopologien , definert som topologien hvis åpne rom er skjæringspunktene mellom de åpne rommene i det opprinnelige rommet med underrommet.

Gitt en hvilken som helst indeksert familie av topologiske rom, kan produktet utstyres med topologiproduktet , som genereres av forhåndsbildene til de åpne faktorene gjennom projeksjonene. For eksempel, i endelige produkter består et grunnlag for produkttopologien av alle produkter av åpne sett. For uendelige produkter er det nødvendig å legge til tilleggskravet om at alle unntatt åpne finitter skal være hele plassen.

Et kvotientrom er definert som følger: hvis X er et topologisk rom, Y er et sett, og f : X → Y er en surjektiv funksjon , så er kvotienttopologien på Y samlingen av delmengder av Y som har åpne f forbilder . Med andre ord er kvotienttopologien den fineste topologien på Y der f er kontinuerlig. Et vanlig eksempel på en kvotienttopologi er den indusert av en ekvivalensrelasjon på X. Kartet f er da den naturlige projeksjonen til settet med ekvivalensklasser.

Et gitt sett kan ha mange forskjellige topologier. Hvis et sett gis en annen topologi, er det resulterende topologirommet annerledes. Ethvert sett kan utstyres med den diskrete topologien der hvert delsett er åpent. De eneste konvergerende sekvensene eller nettverkene i denne topologien er de som til slutt er konstante. Ethvert sett kan også utstyres med den trivielle topologien (også kalt indiskret topologi), der bare det tomme settet og hele rommet er åpne. Hver sekvens og hvert nettverk i denne topologien konvergerer på hvert punkt i rommet. Dette eksemplet viser at i et generelt topologisk rom er grensene for sekvenser ikke nødvendigvis unike. Imidlertid kreves det ofte at topologiske rom er Hausdorff -rom, rom der grensene for sekvenser er unike.

Det er mange måter å definere en topologi på R , settet med reelle tall . Standardtopologien på R genereres av de åpne intervallene , det vil si at settet med alle åpne intervaller danner grunnlaget for topologien. Spesielt innebærer dette at et sett er åpent hvis det er et åpent intervall med radius som ikke er null sentrert ved hvert punkt i settet og fullstendig inneholdt i det settet.

Referanser

  1. ↑ Munkres, James R. Topology.
  2. ↑ Adams, Colin Conrad og Robert David Franzosa.
  3. ↑ Merrifield, Richard E.; Simmons, Howard E. (1989). Topologiske metoder i kjemi . New York: John Wiley & Sons. s. 16 . ISBN  0-471-83817-9 . Hentet 27. juli 2012 . definisjon . En samling B av delmengder av et topologisk rom (X,T) kalles en basis for T hvis hvert åpent sett kan uttrykkes som en forening av medlemmer av B. » 
  4. ^ Armstrong, MA (1983). Grunnleggende Topologi . Springer. s. 30. ISBN  0-387-90839-0 . Hentet 13. juni 2013 . Anta at vi har en topologi på et sett X , og en samling åpne sett slik at hvert åpent sett er en forening av medlemmer av . Da kalles et grunnlag for topologien... » 

Generell bibliografi