Chapman–Enskog-metoden

På slutten av 1800-tallet er Boltzmann-ligningen som styrer dynamikken til det gassformige mediet i mikroskopisk skala og Euler- og Navier-Stokes-ligningene for det makroskopiske nivået kjent. Å gå fra den ene skalaen til den andre utgjør en del av Hilberts sjette problem. David Hilbert , forfatter av erklæringene om hovedproblemene som ble vurdert på slutten av 1800-tallet, legger grunnlaget for en metode i form av en utvikling som bærer hans navn (1912). Det vil ta noen år for Sydney Chapman og David Enskog å foreslå samtidig og uavhengig i 1916 og 1917 en løsning på dette problemet. [ 1 ][ 2 ] [ 3 ] Nylig har denne metoden blitt utvidet til tilfellet med en gass i termodynamisk ulikevekt , [ 4 ] er dette siste aspektet et veldig aktivt forskningsområde for tiden.

Chapman -Enskog- metoden er en forstyrrelsesmetode som består i å definere løsningen i form av en rekke distribusjonsfunksjoner i funksjoner av en "liten parameter" som kan sammenlignes med Knudsen-tallet . I rekkefølge null er Maxwell-Boltzmann-fordelingen og Euler-ligningene . Rekkefølge en lar oss kjenne uttrykket for varme- og momentumfluksene og det for transportkoeffisientene (diffusjonskoeffisienter på grunn av konsentrasjon, trykk- og temperaturgradienter, dynamiske og volumetriske viskositeter og konduktivitet). Av molekylære interaksjonspotensialer. Denne tilnærmingen gjør det mulig å finne Navier-Stokes-ligningene og rettferdiggjøre diffusjon ved termiske gradienter, ukjent på det tidspunktet Chapmans og Enskogs verk ble publisert. Denne metoden vil tillate at alle disse koeffisientene kan beregnes fra kunnskap om en av dem ved rekonstituering til et mål (vanligvis viskositeten) av et interaksjonspotensial som Lennard-Jones-potensialet .

Harold Grad har foreslått en alternativ tilnærming som består i å søke etter løsningen ved hjelp av metodene for momenter av distribusjonsfunksjonen (1949). Boltzmann-ligningen multipliseres med ( er den mikroskopiske hastigheten til Boltzmann-ligningen og tensorprodusenten og integrert i hastighet. I denne typen metode viser likningen i n° av tid (n+1)°. Derfor må vi lag en hypotese for å "lukke" systemet. Grad antar løsningen uttrykt av en avkortet serie av hermitepolynomer. David Levermore har nylig (1996) foreslått en lukking ved bruk av en generell egenskap: løsningen maksimerer entropien til det lukkede systemet, som er mediets partikler [ 5 ] Av beregningskodene basert på disse metodene forblir de laboratoriets eiendom fordi de ikke gir en nevneverdig gevinst når det gjelder validitetsegenskap (i form av antall Knudsen ) sammenlignet med standardkodene som løser Navier-Stokes-ligningene, som har blitt gjenstand for betydelig utvikling . $1,\mathbf {v} ,\mathbf {v} \otimes \mathbf {v} ,\mathbf {v} \otimes \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} ...$ ${\mathbf {v}}$ $\ noen ganger$

Mikroskopiske og makroskopiske evolusjonsligninger

Mikroskopisk nivå

Vi skriver ned den statistiske fordelingsfunksjonen til hastigheten. . i øyeblikket ved punktet for partikkelen (atomet eller molekylet) som tilhører arten . Det sannsynlige antallet partikler ved volumhastigheter på dette tidspunktet er . Den statistiske fordelingen er derfor målt i s 3 ⋅m -6 . $f_{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)$ ${\mathbf {v}}$ $du$ ${\mathbf{x}}$ $Yo$ $[\mathbf {x} ,\mathbf {x} +\mathrm {d} \mathbf {x} ]$ $[\mathbf {v} ,\mathbf {v} +\mathrm {d} \mathbf {v} ]$ $f_{i}\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\mathrm {d} \mathbf {v}$ $f_{i}$

Boltzmanns ligning er skrevet

{\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla​x}f_{i}=\sum​​j}Q(f_{i },f_{j})

hvor , er kollisjonsoperatoren (eller kjernen), er en kvadratisk integraloperator som er beskrevet nedenfor, og gir effekten av kollisjonene som vil bli antatt elastiske for å forenkle problemet: det er ingen utveksling mellom de interne og translasjonsgradene av frihet, det er ingen kjemisk reaksjon. Derfor er volumet av viskositet som følge av denne typen utveksling utelukket. $Q$

Det er like mange utbredelser som det finnes arter i miljøet. Til hver tilsvarer en Boltzmann-ligning koblet til de andre av de andre medlemmene som representerer homogene ( ) eller heterogene ( ) kollisjoner. $j=i$ $j\neq i$

Den elastiske kollisjonen

Hastighetene før interaksjonen i en treghetsreferanseramme er og . Indeksene representerer utydelig den samme arten eller to forskjellige arter. Disse hastighetene holder og så blir vi plassert i et system sentrert i tyngdepunktet som har en konstant hastighet på grunn av bevaring av momentum. I dette systemet, som derfor er galileisk, er starthastigheten til partikkelen den relative hastigheten . Ved symmetri kan det bekreftes at banen vil være inneholdt i planet som inneholder origo og . Vi velger et referansepunkt som: (se figur). I denne referansen er avviket . I henhold til den relative hastighetspåvirkningsparameteren og vekselvirkningspotensialet antas kun å avhenge av avstanden i de to samvirkende partiklene. Hvis denne hypotesen er streng for interaksjonen mellom to atomer, kan den anses som brukbar for to molekyler: potensialet er da et statistisk gjennomsnittspotensial. ${\mathbf {v}}_{i}$ $\mathbf {v}{j}$ $\mathbf {v}{i}'$ $\mathbf {v}{j}'$ $j$ $\mathbf {g}ij}=\mathbf {v}i}-\mathbf {v}j}$ $\mathbf {g} ij}$ $\mathbf {\Omega } ={\frac {\mathbf {g}ij}}{||\mathbf {g}ij}||}}=[1,0,0]$ $\thetaij}$ $b$ $g_{ij}$

Interaksjonsutgangsretningen er definert av: . Slutthastighetene kan beregnes ut fra følgende betraktninger: $\mathbf {\Omega '} ={\frac {\mathbf {g'}ij}}{||\mathbf {g'}ij}||}}$

bevaring av momentum i samhandlingen innebærer

\mathbf {v}﻿i}'+\mathbf {v}﻿j}'=\mathbf {v}﻿i}+\mathbf {v}﻿j}

relativ hastighet har en konstant modul på grunn av bevaring av energi, så eller $\mathbf {g} ij}$ $g_{ij}'=g_{ij}$

|\mathbf {v}/?i}'-\mathbf {v}{j}'|=|\mathbf {v}{i}-\mathbf {v}{j}|

Hastighetene etter interaksjonen er derfor:

\mathbf {v}{i}'(b,g)=\mathbf {v}{i}-(\mathbf {g_{ij}} \cdot \mathbf {\Omega '} )\, \mathbf {\Omega '}

\mathbf {v}​​j}'(b,g)=\mathbf {v}​​j}+(\mathbf {g_{ij}} \cdot \mathbf {\Omega '} )\, \mathbf {\Omega '}

Videre fører bevaring av vinkelmomentum under interaksjonen til . $b'=b$

Systemet som beskriver kollisjonen er reversibelt. Liouvilles teorem (Hamiltonsk mekanikk) lar oss skrive

\mathrm {d} \mathbf {v}​i}'\mathrm {d} \mathbf {v}​​j}'=\mathrm {d} \mathbf {v}​​i}\, \mathrm {d} \mathbf {v} j}

Kjernekollisjonen

Det sannsynlige antallet partikler som passerer gjennom området per tidsenhet er . De samhandler med det sannsynlige antallet partikler i elementærvolumet. Antall partikler som forsvinner fra statistikken per tidsenhet er med; $2\,\pi \,b\,\mathrm {d} b$ $f(\mathbf {v}j})\,g_{ij}\,2\,\pi \,b\,\mathrm {d} b\,\mathrm {d} \mathbf {v }j$ $f(\mathbf {v}i})\,\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {d} \mathbf {v}i}$ $\Thetaij}^{-}\,\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {d} \mathbf {v}{i}$

\Theta{ij}^{-}=2\pi \int{\mathbf {v} }\int{0}^{\infty }f(\mathbf {v}{i}) f(\mathbf {v} )\,g_{ij}\,b\,\mathrm {d} b\,\mathrm {d} \mathbf {v} j}

På samme måte teller vi antall partikler som dukker opp

\Theta{ij}^{+}=2\pi \int{\mathbf {v} }\int{0}^{\infty }f(\mathbf {v}{i}' )f(\ mathbf {v}​j}')\,g_{ij}'\,b'\,\mathrm {d} b'\,\mathrm {d} \mathbf {v}​​j} '

Gitt relasjonene ovenfor for kollisjonen. kollisjonsoperatøren er skrevet

Q(f_{i},f_{j})=\Theta​ij}^{+}-\Theta​​ij}^{-}=2\pi \int​​\mathbf {v} }\int 0}^{\infty }[f(\mathbf {v}xi')f(\mathbf {v}j}')-f(\mathbf {v}xi })f(\mathbf {v} )]\,g_{ij}\,b\,\mathrm {d} b\,\mathrm {d} \mathbf {v} j}

Denne ligningen er navngitt som Wang Chang og Uhlenbeck- ligningen .

En ekvivalent formulering kan gis som introduserer differensialtverrsnittet og er definert: $\sigmaij}$

2\,\pi \,b\,\mathrm {d} b=2\,\pi \,\sigma​ij}\sin \theta​ij}\,\mathrm {d} \theta ij=\sigmaij}\,\mathrm {d} \Omega

Og dermed

Q(f_{i},f_{j})=\int​​\mathbf {v} }\int​​4\pi }[f(\mathbf {v}​​i}')f( \mathbf {v} j')-f(\mathbf {v} i)f(\mathbf {v} j)]\,g_{ij}\,\sigmaij }\,\mathrm {d} \mathbf {\ Omega }

Makroskopisk nivå

Variablene

Boltzmann-ligningen beskriver utviklingen av partikler på makroskopisk nivå. For å beskrive hver av artene på makroskopisk nivå, er dette definert: $Yo$

- partikkeltetthet	$n_{i}=\int\mathbf {v} }f_{i}\mathrm {d} \mathbf {v}i}$	$n=\sum i}n_{i}$
- tettheten	$\rho i}=n_{i}m_{i}$	$\rho =\sum i}\rho i}$
- gjennomsnittshastighet	$\mathbf {V}i}={\frac {1}{n_{i}}}\int\mathbf {v} }\mathbf {v}i}f_{i}\ mathrm {d} \mathbf {v} i}$	- indre energi	$e_{i}=\int\mathbf {v} }{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}f_{i}\mathrm {d} \ mathbf {v} i}$

Vi kan da definere verdier for settet med arter

- den totale hastigheten	$\mathbf {V} ={\frac {1}{\rho }}\sumi}\rhoi}\mathbf {V}i}$	(barysentrisk hastighet for alle partikler)
- diffusjonshastigheten	${\mathbf {V}D}}_{i}=\mathbf {V}i}-\mathbf {V}$	( kinematisk mengde )

Noen hjelpevariabler ( det er Avogadros tall ) $\mathcal{N}$

- Volumfraksjon	$x_{i}={\frac {n_{i}}{n}}$	Fortell meg hva $\sum i}x_{i}=1$
- massefraksjonen	$c_{i}={\frac {\rho i}}{\rho }}$	Fortell meg hva $\sumi}c_{i}=1$
- den molare massen	${\mathcal {M}}_{i}={\mathcal {N}}m_{i}$	valeur moyenne ${\overline {\mathcal {M}}}=\sumi}x_{i}{\mathcal {M}}_{i}$

Strømmene

Mengdeflyten er per definisjon mengden hvor $?Jeg$ $\int\mathbf {v} }\psii}f_{i}\mathbf {U}i}\mathrm {d} \mathbf {U}i}$ $\mathbf {U}{i}=\mathbf {v}{i}-\mathbf {V}$

dette defineres ved å se på det produktdyadiske produktet $\ noen ganger$

- massestrøm	$\mathbf {J}i}=m_{i}\int\mathbf {v} }f_{i}\mathbf {U}i}\mathrm {d} \mathbf {U} _{Yo}$	$=\rhoi}{\mathbf {V}D}}_{i}$
- trykkstrammeren	${\mathsf {P}}_{i}=\int\mathbf {v} }m_{i}\mathbf {U}i}\otimes \mathbf {U}i}f_ {i}d\mathbf {U} i}$	som representerer strømmen av momentum. Den er symmetrisk av konstruksjon.
- delvis Trykk	$p_{i}={\frac {1}{3}}\int\mathbf {v} }m_{i}U_{i}^{2}f_{i}d\mathbf {U} _{Yo}$	er definert fra trykktensor - kurven .
- varmefluks	$\mathbf {q}i}=\int\mathbf {v} }{\frac {1}{2}}m_{i}U_{i}^{2}\mathbf {U} i}f_{i}\mathrm {d} \mathbf {v}$	representerer flyten av indre energi.

De globale strømmene oppnås ganske enkelt ved å legge sammen med trykket :. Vi kan da definere en temperatur fra tilstandsligningen $Yo$ $p=\sum i}p_{i}$

p=n\,k\,T

Evolusjonsligninger

Å multiplisere hver av Boltzann-ligningene suksessivt med hver av kollisjonsinvariantene og integrere over hastighetene og, om nødvendig, over arten, gir de makroskopiske evolusjonsligningene kalt de kontrakterte produktligningene . $m_{i},m_{i}\mathbf {v} ,{\frac {1}{2}}m_{i}v^{2}$

{\frac {\partial \rho​​i}}{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho​​i}\mathbf {V} +\mathbf {J}​​i}) =0

\rho \,{\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial t}}+\rho \,(\mathbf {V} \cdot \nabla )\mathbf {V} +\nabla \ cdot {\mathsf {P}}={\frac {\partial (\rho \,\mathbf {V} )}{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {V} \otimes \mathbf {V} )+\nabla \cdot {\mathsf {P}}=0

{\frac {\partial (\rho \,e)}{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \,e\,\mathbf {V} )+\nabla \cdot \mathbf { q} +\nabla \cdot ({\mathsf {P}}{\textbf {:}}\mathbf {V} )=0

Alle andre medlemmer er null på grunn av bevaringslovene

\int​​\mathbf {v} }\psi​​i}\,Q\,\mathrm {d} \mathbf {v} =0,~~\forall i,~~\forall \psi \ i [m_{i},m_{i}\mathbf {v} ,{\frac {1}{2}}m_{i}v^{2}]

Dermed får vi et evolusjonssystem , og der flyter og gjenstår å bli avklart . $\rho$ $\mathbf {V}$ $og$ $\mathbf {J}{i}$ ${\mathsf {P}}$ $\mathbf {q}$

Dimensjonsløs Boltzmann-ligning

Det antas å være et homogent medium (bare en art er til stede).

For å estimere bidraget til hvert ledd i Boltzmann-ligningen er det nødvendig å modifisere dette. For dette er følgende referansemengder definert:

temperaturen som vi utleder en referansehastighet fra som er lydhastigheten for en perfekt gass $T^{*}$ $a^{*}={\sqrt {\gamma RT^{*}}}$
den makroskopiske referanselengden Relatert til problemet med å definere en referansetid Relatert til forplantningen av akustiske bølger $L^{*}$ $t^{*}={\frac {L^{*}}{a^{*}}}$
referansetrykk , som en referansetetthet og mengden $p^{*}$ $\rho*}={\frac {p^{*}}{RT^{*}}}$ $f^{*}={\frac {\rho><*}}{{a^{*}}^{3}}}$
en mikroskopisk referansehastighet som tilsvarer medianhastigheten til en partikkel $c^{*}={\sqrt {\frac {8kT^{*}}{m\pi }}}$
en annen mikroskopisk referansehastighet som tilsvarer den gjennomsnittlige relative hastigheten mellom to partikler $g^{*}=c^{*}{\sqrt {2}}$
en mikroskopisk referanselengde som tilsvarer den gjennomsnittlige frie banen hvor er differensialtverrsnittet. $l^{*}={\frac {1}{{\sqrt {2}}\sigma n}}$ $\sigma$

Hvis vi nå definerer de reduserte variablene , , , og , skrives Boltzmann-ligningen ${\tilde {f}}={\frac {f}{f^{*}}}$ ${\tilde {t}}={\frac {t}{t^{*}}}$ ${\tilde {v}}={\frac {v}{c^{*}}}$ ${\tilde {g}}={\frac {g}{g^{*}}}$ ${\tilde {b}}={\frac {b}{\sqrt {\frac {\sigma }{\pi }}}}$ ${\tilde {x}}={\frac {x}{L^{*}}}$

{\mathcal {S}}r{\frac {\partial {\tilde {f}}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\tilde {\mathbf {v} }}\ cdot \nabla{\tilde {x}}{\tilde {f}}={\frac {1}{Kn}}{\tilde {Q}}({\tilde {f}},{\tilde {f } })

hvor:

${\tilde {Q}}({\tilde {f}},{\tilde {f}})={\frac {\tauÂ*}}{f^{*}}}Q(f ,F )$

Strouhal-nummer som veier den tidsmessige variasjonen av systemet, ${\mathcal {S}}r={\frac {L^{*}}{c^{*}t^{*}}}$
Knudsen tall hvis inverse vekt er kollisjonsleddet, så tendensen til å gå tilbake til likevekt. I praksis, for at likningene til kontinuumet skal være gyldige, er det nødvendig at , typisk. $Kn={\frac {l^{*}}{L^{*}}}$ $Kn<0,01$

Formulering av løsningen

Vi skriver løsningen som en serie med en parameter i samme størrelsesorden som Knidsen-tallet $\Lambda$

f_{i}=f_{i}^{(0)}+\Lambda \,f_{i}^{(1)}+\Lambda 2}\,f_{i}^{(2)} +...

$f_{i}$ Med respekt for bevaringslovene, må hver av utviklingsvilkårene også respektere dem. Hvorfra er begrensningene for løsningen.

\int​​\mathbf {v} }\psi \,f_{i}^{(k)}\,\mathrm {d} \mathbf {v} =0,~~\forall i,~~ \forall k,~~\forall \psi \in [m,m\mathbf {v} ,{\frac {1}{2}}mv^{2}]

vi bruker denne tilnærmingen i Boltzmann-ligningen og skiller begrepene som tilsvarer hver potens av . $\Lambda$

For å bestille null

Det er ganske enkelt oppnådd

\sum j}Q(f_{i}^{(0)},f_{j}^{(0)})=0

Denne ligningen er verifisert hvis alle leddene som utgjør den er null, spesielt

Q(f_{i}^{(0)},f_{i}^{(0)})=0

Hvilket det innebærer

f_{i}^{(0)}(\mathbf {v'} )f_{i}^{(0)}(\mathbf {w'} )=f_{i}^{(0)} (\mathbf {v} )f_{i}^{(0)}(\mathbf {w} )

enten

f_{i}^{(0)}(\mathbf {v'} )+f_{j}^{(0)}(\mathbf {w'} )=\log f_{i}^{( 0)}(\mathbf {v} )+\log f_{j}^{(0)}(\mathbf {w} )

$\log f$ Det er en kollisjonsvariant. Derfor er det skrevet som en lineær kombinasjon av de kanoniske kollisjonsinvariantene

\log \,f_{i}^{(0)}=A_{i}\,m_{i}+\mathbf {B}{i}\cdot (m_{i}\mathbf {v}) +C_{i}\,{\frac {1}{2}}m_{i}v^{2}

Ved å introdusere dette uttrykket i ligningene som definerer de mikroskopiske variablene, blir parametrene for denne utviklingen identifisert og Maxwells hastighetsfordelingslov er funnet.

f_{i}^{(0)}=n_{i}\left({\frac {\beta​​i}}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2} }e^{-\beta i}||\mathbf {V} i}-\mathbf {v} ||^{2}}

med. . Diffusjonsflukser kansellerer ut, så vel som varmefluks . Trykktensoren reduseres til sitt spor hvor . De tilsvarende makroskopiske ligningene er Euler-ligningene . $\beta{i}={\frac {m_{i}}{2kT}}$ $\mathbf {J}{i}$ $\mathbf {q}$ ${\mathsf {P}}=p\,{\mathsf {I}}$ ${\mathsf {I}}$

For å bestille en

Rekkefølge én viser en Fredholm-integralligning for det ukjente $f_{i}^{(1)}$

{\frac {\partial f_{i}^{(0)}}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla f_{i}^{(0)}=\sum _ {j}\venstre[Q(f_{i}^{(0)},f_{j}^{(1)})+Q(f_{i}^{(1)},f_{j}^{ (0)})\right]

Den vanskelige oppløsningen til denne ligningen gjør at man kan gi de forskjellige ukjente mengdene av Enskog-ligningene som deretter kan assimileres til Navier–Stokes-ligningene .

Kringkastingsstrømmen

Det oppnås i form av et lineært system kalt Stefan-Maxwell- systemet

{\begin{array}{rcl}\sum​​j\neq i}{\frac {x_{i}x_{j}}{\rho {\mathcal {D}}_{ij}}} \left({\frac {\mathbf {J}​​j}}{c_{j}}}-{\frac {\mathbf {J}{i}}{c_{i}}}\right)& = &\nabla x_{i}+(x_{i}-c_{i})\nabla \log p+k_{i}^{T}\nabla \log T\\[0.6em]&=&\mathbf { d}﻿i}+k_{i}^{T}\nabla \log T\end{array}}

Der vi ser utseendet til den binære diffusjonskoeffisienten og "multikomponent termisk diffusjonskoeffisient", (faktisk et dimensjonsløst tall) (som ikke er diffusjonskoeffisienter og som kan være negative) ved: ${\mathcal {D}}_{ij}(T,p)$ $k_{i}^{T}(T,p,x_{i})$ ${\mathcal {D}}_{i}^{T}(T,p,x_{i})$

k_{i}^{T}=\sum​​j\neq i}{\frac {x_{i}x_{j}}{\rho {\mathcal {D}}_{ij}}} \left({\frac {{\mathcal {D}}_{j}^{T}}{c_{j}}}-{\frac {{\mathcal {D}}_{i}^{T} }{c_{i}}}\right)

For et medium med arter er rekkevidden til dette systemet siden . din løsning $N$ $N-1$ $\sumi}\mathbf {J}i}=0$

\mathbf {J}{i}=-{\frac {\rho }{{\overline {\mathcal {M}}}^{2}}}\sum​​j\neq i}{\ mathcal {M}}_{i}{\mathcal {M}}_{j}D_{ij}[\nabla x_{i}+(x_{i}-c_{i})\nabla \log p]- { \mathcal {D}}_{i}^{T}\nabla \log T

Vi finner diffusjonsbegrepene etter konsentrasjon, trykk og temperaturgradient ( Soret-effekt ). Det er multikomponent diffusjonskoeffisienten, en løsning av et lineært system som involverer de binære koeffisientene. Dette systemet er også et rank-term system Løsningen er ikke unik og innebærer uavhengige vilkår. Vi velger vanligvis for symmetriens skyld. Dette valget er vilkårlig. $D_{ij}(T,p,x_{i})$ $N-1$ ${\frac {N(N-1)}{2}}$ $D_{ii}=0$

Det er flere omtrentlige løsninger av Stefan-Maxwell-systemet som lar et eksplisitt uttrykk for diffusjonsfluksen oppnås under en nærliggende form av Ficks lov , som ikke er nøyaktig for en binær blanding.

Trykktensoren

Kompresjonsstrammeren har en klassisk form

{\mathsf {P}}=p{\mathsf {I}}-2\mu (T,p,x_{i}){\mathsf {S}}

hvor er enhetstensoren Den viskøse spenningstensoren ${\mathsf {I}}$ ${\mathsf {S}}$

{\mathsf {S}}={\frac {1}{2}}[\nabla \otimes \mathbf {V} +(\nabla \otimes \mathbf {V} )^{t}]-{ \frac {1}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {V} )\,{\mathsf {I}}

Et tilleggsbegrep dukker opp i trykket når uelastiske interaksjoner tas i betraktning. Dens innflytelse er svak, til og med helt ubetydelig for gasser med lav tetthet. [ 4 ] $-\eta (\nabla \cdot \mathbf {V} )\,{\mathsf {I}}$

Det bemerkes at Stokes-hypotesen naturlig er begrunnet med denne tilnærmingen.

Strømmen av varme

er gitt av

\mathbf {q} =-\lambda \nabla T+\sum​​i}\rho​​i}e_{i}{\mathbf {V}﻿D}}_{i}+p\sum i }k_{i}^{T}{\mathbf {V} D}}_{i}

$\lambda (T,p,x_{i})$ Dette er den termiske ledningsevnen. Det siste leddet i ligningen er følgen av Soret-effekten og kalles Dufour-effekten.

Transportkoeffisienter

Transportkoeffisientene uttrykkes i form av lineære systemer som involverer mengder av typen , som er utviklet i Sonine-Laguerre polynomer. Ekspansjonskoeffisientene uttrykkes i kollisjonsintegralfunksjoner. I praksis er vi fornøyd med den første ordren for ekspansjonen og kollisjonsintegralene er funksjoner av temperatur som er tabellert av forskjellige forfattere. I tillegg er det omtrentlige løsninger av de lineære systemene som gir de ulike koeffisientene i eksplisitt form. $\int\mathbf {V} }F(V_{i},f_{i}^{(0)})d\mathbf {V}$

Distribusjonsfunksjonen

Fordelingsfunksjonen er

f_{i}^{(1)}=f_{i}^{(0)}\left[1+{\frac {1}{x_{i}}}\mathbf {V}{i } \cdot \mathbf {d}﻿i}+\mathbf {b}{i}:(\mathbf {\nabla } \otimes \mathbf {V} )+\left(W_{i}^{2} -{\ frac {5}{2}}\right)\mathbf {V} i}\cdot \nabla \log T\right]

hvor det oppstår i diffusjonsstrømmen $\mathbf {d}{i}$

\mathbf {W}{i}={\sqrt {\frac {m_{i}}{2kT}}}\mathbf {V}{i}

\mathbf {b}{i}=2\left(\mathbf {W}{i}\otimes \mathbf {W}{i}-W_{i}^{2}\,{\ mathsf{I }}\Ikke sant)

Denne fordelingsfunksjonen er nødvendig for beregningen av Knudsen-laget som gir veggbetingelsene for Navier-Stokes-ligningen.

For å bestille to

Her får vi igjen en Fredholm-integral for det ukjente $f_{i}^{(2)}$

{\frac {\partial f_{i}^{(1)}}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla f_{i}^{(1)}=\sum _ {j}\venstre[Q(f_{i}^{(0)},f_{j}^{(2)})+Q(f_{i}^{(1)},f_{j}^{ (1)})+Q(f_{i}^{(2)},f_{j}^{(0)})\høyre]

David Burnett foreslo i 1935 en løsning på denne ligningen. Dette har ulempen ved ikke å respektere teorien [ 6 ] H. Det ser ut til at stigningen i rekkefølge utgjør en blindvei, alle variantene som er foreslått til dags dato løser ikke dette problemet. [ 7 ]

Se også

Referanser

↑ (i) Sydney Chapman og Thomas George Cowling , The Mathematical Theory of Non-uniform Gases , Cambridge University Press ,1991 ( ISBN 0-521-40844-X )
↑ (i) Joseph Oakland Hirschfelder , Charles Francis Curtiss og Robert Byron Bird , Molecular Theory of Gases and Liquids , John Wiley and Sons ,1966 ( ISBN 978-0-471-40065-3 )
↑ (i) Gilberto Medeiros Kremer , « The Methods of Chapman-Enskog and Grad and Applications » , RTO-EN-AVT 194 , 2011 [1]
↑ a b Raymond Brun , Introduksjon til dynamique des gaz réactifs , Cépaduès ,2015 ( ISBN 978-2-364-93190-9 )
↑ (i) Charles David Levermore , " Moment Closure Hierarchies for Kinetic Theories " , Journal of Statistical Physics , vol. 83,nitten nittiseks ( les på nettet )
↑ Byung Chan Eu, Nonequilibrium Statistical Mechanics. Ensemblemetode. , springer ,1998 ( ISBN 978-90-481-5007-6 )
↑ Cédric Villani , Limites hydrodynamiques de l'équation de Boltzmann , koll. "Seminaire Bourbaki" ( nr. 893 [ 2] ),2001