Distribusjonsfunksjon

I sannsynlighetsteori og statistikk er den kumulative fordelingsfunksjonen ( CDF, også noen ganger bare referert til som distribusjonsfunksjonen eller FD ) eller kumulativ sannsynlighetsfunksjon assosiert med en reell tilfeldig variabel underlagt en viss sannsynlighetsfordelingslov , en matematisk funksjon av den reelle variabelen som beskriver sannsynligheten for at den har en verdi mindre enn eller lik . Intuitivt, forutsatt funksjonen som loven for sannsynlighetsfordeling , vil CDF være funksjonen med den reelle linjen som domene, med bildet av området frem til her av funksjonen , her er verdien x for den reelle tilfeldige variabelen . FDA assosierer hver verdi x med sannsynligheten for hendelsen : "variabelen tar verdier mindre enn eller lik x". FDA-konseptet kan generaliseres til å modellere multivariate tilfeldige variabler definert i $X$ $x$ $X$ $x$
$F$ $F$ $X$
$X$
$? {R} n$

Definisjon

La være et sannsynlighetsrom og en tilfeldig variabel , den kumulative fordelingsfunksjonen til den tilfeldige variabelen er en funksjon definert som $(\Omega ,{\mathcal {A}},\operatørnavn {P} )$ $X:\Omega \to \mathbb {R}$ $X$ $F:\mathbb {R} \to [0,1]$

F(x)=\operatørnavn {P} [X\leq x]

Fordelingsfunksjonen evaluert til et hvilket som helst tall er sannsynligheten for at den tilfeldige variabelen tar en verdi mindre enn eller lik . $x$ $x$

Den kumulative fordelingsfunksjonen kan hentes fra sannsynlighetsfunksjonen . $F$ $F$

Notasjon

Noen ganger brukes notasjonen for å spesifisere at det er fordelingsfunksjonen til en tilfeldig variabel, selv om den for enkelhets skyld vanligvis skrives . $F_{X}(x)$ $X$ $F(x)$

Diskret sak

Hvis det er en diskret tilfeldig variabel med sannsynlighetsfunksjon , beregnes den kumulative fordelingsfunksjonen som $X$ $f(x)$

F(x)=\operatørnavn {P} [X\leq x]=\sum​​u\leq x}f(u)

Fortsetter sak

Hvis det er en kontinuerlig tilfeldig variabel med tetthetsfunksjon , beregnes den kumulative fordelingsfunksjonen som $X$ $f(x)$

F(x)=\operatørnavn {P} [X\leq x]=\int-\infty }^{x}f(u)du

Egenskaper

En kumulativ distribusjonsfunksjon knyttet til den tilfeldige variabelen tilfredsstiller $F(x)$ $X$

$0\leq F(x)\leq 1$ .
$\limx\to \infty }F(x)=1$ .
$\limx\to -\infty }F(x)=0$ .
Den er monoton ikke-avtagende, det vil si hvis da . $x_{1}\leq x_{2}$ $F(x_{1})\leq F(x_{2})$
Den er kontinuerlig fra høyre, det vil si . $\limx\to a^{+}}F(x)=F(a^{+})$

Hvis det kan vises det $a\leq b$

$\operatørnavn {P} (X<a)=F(a^{-})$

$\operatørnavn {P}(X>a)=1-F(a)$
$\operatørnavn {P}(X\geq a)=1-F(a^{-})$
$\operatørnavn {P}(a<X<b)=F(b^{-})-F(a)$
$\operatørnavn {P}(a\leq X<b)=F(b^{-})-F(a^{-})$
$\operatørnavn {P}(a\leq X\leq b)=F(b)-F(a^{-})$

Hvis er en kontinuerlig tilfeldig variabel , sies det å være absolutt kontinuerlig $X$ $F(x)$

\operatørnavn {P}(a\leq X\leq b)=\operatørnavn {P}(a\leq X<b)=\operatørnavn {P}(a<X\leq b)=\operatørnavn {P}(a <X<b)=\int{a}}^{{b}}f(x)\,dx=F(b)-F(a)

Eksempler

CDF for en tilfeldig variabel med jevn fordeling i enhetsintervallet er definert av: $X$ $[0.1]$

F(x)={\begin{cases}0&x\leq 0\\x&0<x<1\\1&x\geq 1\end{cases}}

Hvis det er en tilfeldig variabel med eksponentiell fordeling med parameter , det vil si at den har funksjonen akkumulert fordeling som $X$ $\lambda$ $X\sim \operatørnavn {Exp} (\lambda )$

F(x)={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x>0\\0&{\text{else}}\end{cases}}

Invers kumulativ distribusjonsfunksjon ( kvantilfunksjon )

Kvantilfunksjonen til en tilfeldig variabel (eller av en sannsynlighetslov) er den inverse av dens kumulative.
Hvis CDF er strengt økende og kontinuerlig, er dens inverse definert til å være det eneste reelle tallet slik at . Bare i slike tilfeller er den inverse fordelingsfunksjonen eller kvantilfunksjonen definert på denne måten . Men en fordelingsfunksjon forblir konstant på hvert intervall der den tilfeldige variabelen ikke kan ta verdier. Dette er grunnen til at følgende definisjon introduseres. Dessverre mangler fordelingen generelt sett en invers. Den generaliserte inverse av distribusjonsfunksjonen kan defineres for : $F$ $F^{{-1}}(y),y\in [0,1]$ $x$ $F(x)=y$
$y\in [0,1]$

F^{{-1}}(y)=\inf{x\in {\mathbb {R}}}}\{F(x)\geq y\}.

La være en tilfeldig variabel med verdier i og dens fordelingsfunksjon. Kvantilfunksjonen til kalles funksjonen til i , betegnet med , som gjør tilsvarer: . Den inverse av pda kalles kvantilfunksjonen . $X$ $\mathbb{R}$ $F_{X}$ $X$ $[0.1]$ $\mathbb{R}$ $Q_{X}$ $u\in [0,1]$ $\displaystyle Q_{X}(u)=\inf\{x\;:\;F_{X}(x)\geq u\}\;$

Det motsatte av pda kan brukes til å oversette resultater oppnådd for den ensartede distribusjonen til andre distribusjoner.

Distribusjonsfunksjon

Definisjon

Notasjon

Diskret sak

Fortsetter sak

Egenskaper

Eksempler

Invers kumulativ distribusjonsfunksjon ( kvantilfunksjon )

Se også

Referanser

Bibliografi

Statistikk