Yang–Mills-feltet

Et Yang-Mills-felt er en type fysisk felt som hovedsakelig brukes i kvantefeltteori, hvis Lagrangian har egenskapen til å være invariant under en lokal måletransformasjon . Videre er det sentrum for foreningen mellom den elektromagnetiske kraften , den svake kraften og den sterke kraften.

Historie

I 1954 foreslo Chen Ning Yang og Robert Mills [ 1 ] at prinsippet om lokal faseinvarians eller lokal gauge-invarians ikke var forenlig med en lokal feltteori, det vil si at den adlød relativistiske kausalitetsprinsipper . Det vil si at når, som det er vanlig, Lagrangianen til et felt har en viss intern symmetri gitt av en gruppe måltransformasjoner, bør det være mulig å velge en annen måletransformasjon ved hvert punkt i rommet, uten at dette lager teoriens ligninger ble endret. Dermed søkte Yang og Mills den mest generelle lagrangiske teorien for et felt med lokal gauge-invarians.

Faktisk var kvanteelektrodynamikk allerede en teori med lokal gauge-invarians, der gauge-gruppen nettopp var Lie-gruppen U(1). Resultatet av arbeidet til Yang og Mills var en generalisering av Lagrangian av kvanteelektrodynamikk, der målergruppen nå var en ikke-kommutativ gruppe. Gluonene til kvantekromodynamikken er beskrevet av et Yang-Mills-felt over den ikke-kommutative Lie-gruppen SU(3) assosiert med fargesymmetri .

Matematisk formulering

For å konstruere et Yang-Mills-felt hvis målegruppe har dimensjon m , trenger vi et flerkomponentfelt (hvis komponenter vanligvis er Dirac-spinorer). Alle komponenter i feltet er definert over en rom-tid : ${\mathcal {G}}_{s}$ ${\boldsymbol {\Psi }}(\mathbf {x} )$ $\Psi i}(\mathbf {x} )$ $\mathcal{M}$

( 1 ) ${\boldsymbol {\Psi }}(\mathbf {x} )={\begin{pmatrix}\Psi{1}(\mathbf {x} )\\\Psi{2}(\mathbf { x} )\\\ldots \\\Psin}(\mathbf {x} )\end{pmatrix}}\qquad \mathbf {x} \in {\mathcal {M}}$

Under en lokal måletransformasjon vil feltet transformeres i henhold til: $T_{g}\;$

( 2 ) $T_{g}:{\mathcal {T}}_{0}^{1}({\mathcal {M}})^{n}\to {\mathcal {T}}_{0}^ {1}({\mathcal {M}})^{n}\qquad {\boldsymbol {\Psi }}(\mathbf {x} )\mapsto {\boldsymbol {\Psi }}'(\mathbf {x} )=U_{g(\mathbf {x} )}{\boldsymbol {\Psi }}(\mathbf {x} )=e^{i\gamma j}(\mathbf {x} ){\boldsymbol { \tau }}_{j}}{\boldsymbol {\Psi }}(\mathbf {x} )$

Hvor:

g(\mathbf {x} )\in {\mathcal {G}}_{s}

er elementet i målergruppen som er tilordnet punkt .

\mathbf {x} \in {\mathcal {M}}

U_{g(\mathbf {x} )}

betegner en matrise gitt av en enhetlig representasjon av målegruppen .

{\mathcal {G}}_{s}

\gamma j}(\mathbf {x} )

, er m funksjoner definert på rom-tid som parameteriserer den lokale målertransformasjonen (ulike valg av disse funksjonene representerer forskjellige måltransformasjoner).

\gamma<j}:{\mathcal {M}}\to \mathbb {R}<m}

{\boldsymbol {\tau }}_{j}

, er en Lie-algebra -basis assosiert med gauge-gruppen .

{\mathfrak {g}}_{s}

{\mathcal {G}}_{s}

Potensialet til et Yang-Mills-felt

De egentlige Yang-Mills-feltene stammer fra m vektorfelt eller mer korrekt 1-verdiformer på Lie-algebraen assosiert med gauge-gruppen. Disse 1-formene fungerer som vektorpotensialet til det elektromagnetiske feltet . Hvert av disse potensialene j er gitt av:

$\mathbf {A}j}(\mathbf {x} )=A_{\alpha }^{j}\ dx^{\alpha },\qquad A_{\alpha }^{j}\in {\mathfrak {g}}_{s}$

Gitt transformasjonsloven ( 2 ) er det lett å se at fra disse 1-formene kan en differensialoperator eller kovariant derivert av feltet defineres som:

( 3 ) $D_{\mu }(\cdot )=(\partial\mu }+igA_{\mu }^{j}{\boldsymbol {\tau }}_{j})(\cdot )\qquad \to \qquad D_{\mu }{\boldsymbol {\Psi }}=\partial\mu }{\boldsymbol {\Psi }}+igA_{\mu }^{j}{\boldsymbol {\tau } }_{j}{\boldsymbol {\Psi }}$

hvor g er en reell parameter kalt koblingskonstanten . Det er enkelt å sjekke at transformasjonslovene holder:

( 4 ) $T_{g}(D_{\mu }{\boldsymbol {\Psi }})=U_{g(\mathbf {x} )}D_{\mu }{\boldsymbol {\Psi }}\qquad \ qquad T_{g}(A_{\mu }^{j}{\boldsymbol {\tau }}_{j})=U_{g}(A_{\mu }^{j}{\boldsymbol {\tau } }_{j})U_{g}^{-1}+{\frac {i}{g}}(\partial\mu }U_{g})U_{g}^{-1}$

For en infinitesimal gauge-transformasjon reduseres det siste av uttrykkene i ( 4 ) til: $U_{g}\approx 1-\epsilon j}{\boldsymbol {\tau j}}}$

( 5 ) $T_{g}(A_{\mu }^{j})\approx A_{\mu }^{j}+{\frac {1}{g}}(\partial\mu }\epsilon j)+f_{jkl}\epsilon kA_{\mu }^{l$

Der koeffisientene f ijk er strukturkonstantene til Lie-algebraen:

( 6 ) $[{\boldsymbol {\tau }}_{i},{\boldsymbol {\tau }}_{j}]=f_{ijk}{\boldsymbol {\tau }}_{k}$

Yang-Mills felt

Det som egentlig kalles Yang-Mills-feltet er gitt av et sett med feltintensitetskomponenter som er matematisk hentet fra potensielle vektorer i forrige seksjon. Det er viktig å merke seg at en 1-form som de som er beskrevet ovenfor kan tolkes matematisk som en forbindelse på en hovedbunt . Spesifikt, fra komponentene i 1-formen som tar verdier i Lie-algebraen assosiert med gauge-gruppen, kan de fysiske komponentene som karakteriserer selve Yang-Mills-feltet beregnes, som matematisk er 2-formen gitt av: $\scriptstyle \mathbf {A}$ $\scriptstyle {\mathbf {F}}$

$\mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \land \mathbf {A} ,\qquad {\mathbf {A}}=A_{\alpha }^{j}(x ){\boldsymbol {\tau }}_{j}\ dx^{\alpha },\qquad A_{\alpha }^{j}\in \mathbb {R} ,\ {\boldsymbol {\tau}}_ {j}\in {\mathfrak {g}}_{s}$

hvor d er det ytre derivatet og er det ytre produktet (eller kileproduktet). Uttrykt i komponenter kan forholdet ovenfor uttrykkes som: $\land$

$F_{\mu \nu }^{a}=\partial\mu }A_{\nu }^{a}-\partial\nu }A_{\mu }^{a}+gf abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}$

Lagrangian av et Yang-Mills-felt

Yang – Mills-felt er et spesielt tilfelle av målefeltteori med symmetri gitt generelt av en ikke-abelsk gruppe , Lagrangianen for et slikt felt tas vanligvis som:

( 7 ) $\ {\mathcal {L}}_{\mathrm {cg} }=-{\frac {1}{4}}\operatørnavn {Tr} ({\mathbf {F}}^{2})= -{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu a}F_{\mu \nu }^{a}$

Der det bør tas i betraktning at siden størrelsene er lineære kombinasjoner av Lie-algebrageneratorene assosiert med målegruppen til feltet, er de hentet fra den potensielle vektoren: $\scriptstyle F^{\mu \nu a}$

( 8 ) $F_{\mu \nu }^{a}=\partial\mu }A_{\nu }^{a}-\partial\nu }A_{\mu }^{a}+gf abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}$

Denne tensoren kalles feltintensiteten og noen ganger også krumningen til feltet, fordi hvis den tolkes som komponentene i en matematisk forbindelse , er det krumningen til forbindelsen, siden kommutatoren til de kovariante derivatene av måleren: $\scriptstyle A_{\mu }^{a}$ $\scriptstyle F_{\mu \nu }^{a}$

( 9 ) $\ [D_{\mu },D_{\nu }]=-ig{\boldsymbol {\tau }}^{a}F_{\mu \nu }^{a}\,$

Der den tidligere kovariante deriverte naturlig er definert fra den potensielle vektoren betraktet som kovariant derivert , det vil si , som er identiteten for gruppen av generatorer, er koblingskonstanten. I fire dimensjoner er koblingskonstanten et rent tall. Også for den enhetlige spesialgruppen SU(N) og indeksene $\scriptstyle D_{\mu }={\mathbf {I}}\partial\mu }-ig{\boldsymbol {\tau }}^{a}A_{\mu }^{a}$ $\scriptstyle {\mathbf {I}}$ $\scriptstyle g$ $\scriptstyle g$ $\scriptstyle a,b,c\in \{1\ldots N^{2}-1\}$

Fra Lagrangian gitt av ( 7 ), er følgende evolusjonsligninger for feltet utledet:

( 10a ) $\partial{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu \nu }^{c}=0$

Eller ved å introdusere forkortelsen , kan den forrige ligningen skrives om som: $\scriptstyle F_{\mu \nu }={\boldsymbol {\tau }}^{a}F_{\mu \nu }^{a}$

( 10b ) $(D^{\mu }F_{\mu \nu })^{a}=0\,$

Fra ligningen ovenfor følger det at feltet har egenskapen til å samhandle med seg selv når målegruppen er ikke-abelsk, så bevegelsesligningene i så fall er semilineære, i motsetning til de for klassisk elektromagnetisme hvis målegruppe den er abelsk. Generelt, på grunn av ikke-linearitet , kan bevegelsesligningene bare manipuleres ved hjelp av forstyrrelsesteori for små avvik fra linearitet.

En ekstra egenskap ved feltstyrken er at det, i likhet med det elektromagnetiske feltet, er en analog av Bianchi-identiteten :

( 11 ) $\ (D_{\mu }F_{\nu \kappa })^{a}+(D_{\kappa }F_{\mu \nu })^{a}+(D_{\nu }F_{ \kappa \mu })^{a}=0.$

Når man vurderer et område av rom-tid der det er kilder til feltet, er feltligningen gitt av:

( 12 ) $\partial{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu \nu }^{c}=-J_{\ nu }^{a}.$

Legg merke til at disse strømmene må transformeres riktig under måletransformasjoner av gruppen som er knyttet til symmetrigruppen til målefeltet. Disse strømmene er gitt i form av spinorene som definerer feltet som:

( 13 ) $J_{\mu }^{a}=i\partial\mu }({\boldsymbol {\Psi }}^{T}{\boldsymbol {\tau }}^{a}{\boldsymbol { \Psi }})$

Når man ønsker å vurdere effekten av interaksjon med materie, må Lagrangian utvides til å beskrive både kildepartikkelens fermioniske felt og interaksjonen mellom feltet og dets kilde:

( 14 ) ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\mathrm {mc} }+{\mathcal {L}}_{\mathcal {cg} }=({\mathcal {L} }_{\mathrm {m} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {int} })+{\mathcal {L}}_{\mathrm {cg} }$

Å være:

{\mathcal {L}}_{\mathrm {mc} }

, den delen av Lagrangian som representerer materie (fermioner) og dens interaksjon med målefeltet.

{\mathcal {L}}_{\mathrm {m} },{\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }

er delene der den forrige Lagrangianen kan dekomponeres, den som tilsvarer det isolerte stoffet og den som tilsvarer interaksjonen.

{\mathcal {L}}_{\mathrm {mc} }={\frac {1}{2}}(D_{\mu }{\boldsymbol {\Psi }})^{T}D^ {\mu }{\boldsymbol {\Psi }}-{\frac {1}{2}}m^{2}{\boldsymbol {\Psi }}^{T}{\boldsymbol {\Psi }}

{\boldsymbol {\Psi }}

er det fermioniske feltet gitt av ( 1 ).

m\,

er massen til det fermioniske feltet.

Egenskaper til et målefelt

Selv i fravær av fermioniske felt, inneholder Lagrangian termer som representerer feltets interaksjon med seg selv, noe som innebærer at bosoniske felt kan forplante seg i et vakuum. Selvinteraksjon gir også opphav til ikke-linearitetsfenomener som kompliserer beskrivelsen av feltets tidsmessige utvikling.

Eksempler

Eksempler på vellykket renormaliserbar kvantefeltteori er eksempler på Yang – Mills-felt, blant dem er kvanteelektrodynamikk , som kan generaliseres til den elektrosvake modellen , og kvantekromodynamikk . Noen av disse eksemplene undersøkes i noen detalj nedenfor.

Elektromagnetisk felt

Det enklest mulige tilfellet av et Yang-Mills-felt er et hvis målegruppe er endimensjonal og derfor er målegruppen kommutativ. Det elektromagnetiske feltet kan sees på som et eksempel på et Yang-Mills-felt hvis målegruppe er U(1) hvis tilhørende Lie-algebra er isomorf til endimensjonalt euklidisk rom . I denne delen vil vi vurdere det elektromagnetiske feltet i samspill med bare et fermionisk felt assosiert med elektronene (naturligvis kan eksemplet kompliseres ved å legge til andre typer ladede partikler, selv om det ikke vil bli gjort her for ikke å komplisere forklaringen) . $\scriptstyle \mathbb {R}$

Frie elektroner, uten elektromagnetisk interaksjon, kan i hovedsak beskrives av Dirac-ligningen som kan utledes fra følgende Lagrangian av materie:

${\mathcal {L}}_{m}={\boldsymbol {\bar {\Psi }}}(i\hbar c{\boldsymbol {\gamma }}^{\mu }\partial\ mu }-mc^{2}){\boldsymbol {\Psi }}$

Det er en global symmetri av denne Lagrangian som består av transformasjonen:

( til ) ${\boldsymbol {\Psi }}'\mapsto e^{i\theta }{\boldsymbol {\Psi }}$

Siden ved å erstatte det nye feltet forblir Lagrangian uendret. Dette indikerer at U(1) er en global intern symmetri av Lagrangian.

I en gauge-teori med lokal symmetri U(1) skal lagrangianen forbli invariant når konstanten i ligning ( a ) erstattes av en funksjon som varierer fra punkt til punkt i romtid. Det er åpenbart at nå transformasjonen: $\scriptstyle \theta$ $\scriptstyle \theta ({\mathbf {x}})$

( b ) ${\boldsymbol {\Psi }}'({\mathbf {x}})\mapsto e^{i\theta ({\mathbf {x}})}{\boldsymbol {\Psi }}({\ mathbf{x}})$

Den etterlater ikke den lagrangske invarianten, siden den deriverte av funksjonen introduserer nye termer i den transformerte lagrangen. Imidlertid, hvis en ny Lagragian er konstruert der den ordinære deriverte er erstattet av den kovariante deriverte gitt av: $\scriptstyle \theta ({\mathbf {x}})$ $\partial{\mu }$

$\ D_{\mu }=\partial\mu }-i{\frac {e}{\hbar }}A_{\mu }({\mathbf {x}})$

En Lagrangian kan oppnås som ikke bare er invariant under transformasjon ( a ), men også under transformasjon ( b ), denne nye Lagrangian er:

${\tilde {\mathcal {L}}}_{m}={\boldsymbol {\bar {\Psi }}}(i\hbar c{\boldsymbol {\gamma }}^{\mu }D_ {\mu }-mc^{2}){\boldsymbol {\Psi }}$

Hvis parameteren e er identifisert med den vanlige elektriske ladningen (dette er opprinnelsen til begrepet i gauge-teorier), og funksjonene med komponentene til vektorpotensialet , kan den forrige Lagrangian skrives om som: $\scriptstyle A_{\mu}({\mathbf {x}})$

${\tilde {\mathcal {L}}}_{m}={\mathcal {L}}_{m}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }={\mathcal {L}}_{m}+{\frac {e}{\hbar }}({\boldsymbol {\bar {\Psi }}}{\boldsymbol {\gamma }}^{\mu }{\boldsymbol { \Psi }})A_{\mu }=J^{\mu }A_{\mu }$

Det vil si at den nye lokale gauge-invarianten Lagrangian kan sees på som den originale Lagrangianen som en ekstra elektromagnetisk interaksjonsterm er lagt til. Faktisk ender prinsippet om å kreve at et gitt fermionisk felt skal være lokal gauge-invarians opp med å kreve at det er et bosonisk felt som vil garantere lokal invarians. Denne måleinvarians "oppskriften" fører til minimal kobling mellom det fermioniske feltet og det bosoniske feltet representert av . For å få en fullstendig måleteori kreves det at Lagrangian inkluderer termer som beskriver dynamikken til selve feltet , i tilfelle av lokal invariant elektrodynamikk U(1) oppnås den totale Lagrangianen til gauge-teorien ved å legge til Yang-Mills Lagrangian resulterer: $\scriptstyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }$ $\scriptstyle A_{\mu}({\mathbf {x}})$

${\mathcal {L}}_{\mathrm {QED} }={\tilde {\mathcal {L}}}+{\mathcal {L}}_{cg}={\boldsymbol {\bar { \Psi }}}(i\hbar c{\boldsymbol {\gamma }}^{\mu }D_{\mu}-mc^{2}){\boldsymbol {\Psi }}-{\frac {1} {4\mu 0}}}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu }$

Hvor de kan hentes fra den generelle relasjonen: $\scriptstyle F_{\mu \nu }$

$F_{\mu \nu }^{a}=\partial\mu }A_{\nu }^{a}-\partial\nu }A_{\mu }^{a}+gf abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}=\partial\mu }A_{\nu }^{a}-\partial\nu }A_{\ mu } ^{a}+0=\partial\mu }A_{\nu }-\partial\nu }A_{\mu }=F_{\mu \nu }$

Siden U(1) er en abelsk gruppe, og siden gruppen U(1) er endimensjonal, har vi . $\scriptstyle f^{abc}=0$ $\scriptstyle F_{\mu \nu }^{a}=F_{\mu \nu}\cdot 1$

Fargefelt SU(3)

Kvantekromodynamikk er basert på det faktum at kvarker samhandler gjennom et Yang-Mills-felt assosiert med fargeladningen hvis målersymmetri er gitt av SU(3) . Tatt i betraktning tre fermioniske felt assosiert med kvarker med tre farger, kan symmetritransformasjonen skrives som:

${\mathbf {q}}({\mathbf {x}})={\begin{Bmatrix}q_{r}({\mathbf {x}})\\q_{g}({\mathbf { x}})\\q_{b}({\mathbf {x}})\end{Bmatrix}}\mapsto \exp({i\alpha a}({\mathbf {x}}){\boldsymbol {\ tau }}^{a}}){\begin{Bmatrix}q_{r}({\mathbf {x}})\\q_{g}({\mathbf {x}})\\q_{b}( {\mathbf {x}})\end{Bmatrix}}$

Ved å introdusere den kovariante deriverte basert på SU(3) har vi:

$D_{\mu }=\partial\mu }+{\dot {\imath }}g{\boldsymbol {\tau }}_{a}G_{\mu }^{a}$

hvor gluonfeltet under måletransformasjoner følger følgende lov:

$G_{\mu }^{a}\mapsto G_{\mu }^{a}-{\frac {1}{g}}\partial\mu }\alphaa}-f_{ abc}a_{b}G_{\mu }^{c}$

Med alt dette kan Dirac Lagrangian generaliseres til gauge-invarianten Lagrangian:

${\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }={\mathbf {\bar {q}}}i{\boldsymbol {\gamma }}^{\mu }\partial\mu }{\mathbf {q}}-{\mathbf {\bar {q}}}m{\mathbf {q}}-g{\mathbf {\bar {q}}}{\boldsymbol {\gamma }}^ {\mu }{\boldsymbol {\tau }}_{a}G_{\mu }^{a}{\mathbf {q}}-{\frac {1}{4}}G_{\mu \nu } a}G_{a}^{\mu \nu }$

Electroweak felt

Den elektrosvake modellen beskriver interaksjonen mellom leptoner og kvarker i interaksjon gjennom det elektrosvake feltet, det vil si gjennom utveksling av fotoner assosiert med den elektromagnetiske interaksjonen og massive vektorbosoner assosiert med den svake interaksjonen . Naturligvis inkluderer denne teorien kvanteelektrodynamikk som et spesielt tilfelle . Det særegne ved den konvensjonelle elektrosvake modellen er at på grunn av den empiriske observasjonen at den svake interaksjonen mangler paritetssymmetri i måten disse interaksjonene virker på, skiller denne modellen i lagrangian måten de venstrehendte fermionene samhandler med ferminoene. -hendte:

${\mathcal {L}}_{EW}={\mathcal {L}}_{cg}+{\mathcal {L}}_{fer-cg}$

der de to delene av lagranginen beskriver de bosoniske ( cg ) og fermioniske målefeltene i samspill med det elektrosvake ( fer-cg ) feltet, hver av disse delene har formen:

${\mathcal {L}}_{\text{cg}}={\frac {1}{4}}W_{\mu \nu}W^{\mu \nu}-{\frac {1 }{4}}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }$ ${\mathcal {L}}_{\text{fer-cg}}=\mathrm {i} {\boldsymbol {\bar {\Psi }}}_{L}{\boldsymbol {\gamma }} \mu }\left(\partial\mu }-{\frac {g^{\prime }Y}{4}}B_{\mu }{\boldsymbol {\tau }}^{3}- {\frac {g}{4}}{\boldsymbol {\tau }}^{a}W_{\mu }^{a}\right){\boldsymbol {\Psi }}_{L}+\mathrm { i} {\boldsymbol {\bar {\Psi }}}_{R}{\boldsymbol {\gamma }}^{\mu }\left(\partial\mu}-{\frac {g^{\ primtall }Y}{4}}B_{\mu }{\boldsymbol {\tau }}^{3}\right){\boldsymbol {\Psi }}_{R}$

Hvor:

W_{\mu \nu }=\partial​​\mu }W_{\nu }-\partial​​\nu }W_{\mu }-g[W_{\mu },W_{\nu } ]

, er assosiert med den ikke-abelske undergruppen.

W_{\mu }=-1/{2}W_{\mu }^{a}{\boldsymbol {\tau }}^{a}

B_{\mu \nu }=\partial​​\mu }B_{\nu }-\partial​​\nu }B_{\mu }

, er delen assosiert med den abelske undergruppen.

\langle {\boldsymbol {\tau }}^{1},{\boldsymbol {\tau }}^{2},{\boldsymbol {\tau }}^{3}\rangle ={\mathfrak { din}}(2)

W_{\mu }^{a},B_{\mu }\,

er fire potensielle vektorer som komponentene i feltet kan hentes fra.

Mekanismen som denne mangelen på symmetri introduseres med er mekanismen for spontan symmetribrudd som til slutt fører til at flere vektorbosoner viser en effektiv masse, og derfor har den svake interaksjonen, i motsetning til den elektromagnetiske interaksjonen, kort rekkevidde (og derfor på større avstander). enn kjernefysiske avstander er den totalt ubetydelig).

Andre applikasjoner

Yang-Mills felt har også stimulert resultater utenfor fysikk, innenfor matematikk har de blitt brukt mye for å undersøke egenskapene til polystabile holomorfe bunter. Og også gjennom Donaldsons teori har de blitt brukt på knuteteori .

Et viktig åpent spørsmål angående Yang-Mills feltligningene er om gitt en kvante Hamiltonian for et ikke-abelsk Yang-Mills felt er det en minimum positiv verdi av energien, det vil si om det å vurdere spekteret til Hamiltonian er sant eller ikke at for et felt som dette:

$\mu :=\inf {\text{Spec}}({\hat {H}})\omvendt skråstrek {0}>0$

I så fall vil "feltets effektive masse" være . Problemet ovenfor er et av tusenårsproblemene som Clay Institute of Mathematics tildeler 1 million amerikanske dollar til den som kan løse det. $\scriptstyle m=\mu /c^{2}$

Se også

Referanser

^ CN Yang & RL Mills, Physical Review , 96 , 191 (1954).