Perturbasjonsteori

I kvantemekanikk er perturbasjonsteori eller perturbasjonsteori et sett med omtrentlige skjemaer for å beskrive kompliserte kvantesystemer i form av enklere. Tanken er å starte med et enkelt system og gradvis aktivere "forstyrrende" Hamiltonianere , som representerer små endringer i systemet. Hvis forstyrrelsen eller forstyrrelsen ikke er for stor, kan de forskjellige fysiske mengdene assosiert med det forstyrrede systemet (for eksempel dets energinivåer og dets egentilstander ) kontinuerlig genereres fra de i det enkle systemet. På denne måten kan vi studere det komplekse systemet basert på det enkle systemet.

Spesielt når man studerer energiene til et fysisk system, består metoden av å identifisere i den (forstyrrede) Hamiltonian at en del av den tilsvarer et problem med en kjent løsning (uforstyrret Hamiltonian i tilfelle løsningen er analytisk) og vurdere resten som en potensial som endrer den forrige Hamiltonianeren. Slik identifikasjon lar oss skrive egentilstandene til den forstyrrede Hamiltonianen som en lineær kombinasjon av egentilstandene til den uforstyrrede Hamiltonianeren og egenenergiene som egenenergiene til det uforstyrrede problemet pluss korrigerende termer.

Prosedyre

Ikke degenerert kasus

La være Hamiltonian av et fysisk system. I samsvar med det nevnte kan det skrives som , hvor tilsvarer den uforstyrrede Hamiltonian (hvis løsninger er kjent) og er potensialet som modifiserer . Parameteren kontrollerer størrelsen på forstyrrelsen. Generelt er det en fiktiv parameter som brukes for matematisk bekvemmelighet og som tas på slutten av analysen . På den annen side er egentilstandene til skrevet som en lineær kombinasjon av egentilstandene til $H\,$ ${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+\lambda {\hat {V}}$ ${\hat {H}}_{0}$ ${\hat {V}}$ $H_{0}\,$ $\lambda \,$ $\lambda =1\,$ $H\,$ $H_{0}\,$

$|\psin}\rangle =\summ}\sumk}\lambdak}c_{nm}^{(k)}|\psim}^{ (0)}\range$

og energier som

$E_{n}=\sumk}\lambdak}E_{n}^{(k)}$

hvor er den -te korreksjonen til energien. Indeksen angir rekkefølgen av korreksjonen som begynner med . Det vil si at jo høyere den er , jo bedre tilnærming vil man få, og for det er ingen korreksjon. I de tidligere uttrykkene har det vært antatt at $E_{n}^{(k)}$ $k$ $k\,$ $k=0\,$ $k\,$ $k=0\,$

$H_{0}|\psin}^{(0)}\rangle =E_{n}^{(0)}|\psin}^{(0)}\rangle$ Y $H|\psin}\rangle =E_{n}|\psin}\rangle$

Hvis vi erstatter uttrykkene for , og i den andre ligningen på forrige linje, har vi $H$ $E_{n}$ $|\psin}\rangle$

H|\psi​​n}\rangle =E_{n}|\psi​​n}\rangle

(H_{0}+\lambda V)\sum​​m}\sum​​k}\lambda​​k}c_{nm}^{(k)}|\psi​​m}^{ (0)}\rangle =(\sum k 1 }\lambda k 1 E_{n}^{(k 1 )})\sum m'}\sum _ {k_{2}}\lambda{k_{2} }c_{nm'}^{(k_{2})}|\psim'}^{(0)}\rangle

\sum​​k}\sum​​m}\lambda​​k}c_{nm}^{(k)}(E_{m}^{(0)}+\lambda V)|\psi m^{(0)}\rangle =\sumk1}\sumk2}\summ'E_{n}^{(k1)}\lambda<k_{1}+k_{2}}c_{nm'}^{( k_{2})}|\psim'}^{(0)}\rangle

\sum​​k}\sum​​m}\lambda​​k}c_{nm}^{(k)}(E_{m}^{(0)}+\lambda V)|\psi m^{(0)}\rangle =\sumk1,k2}\summ'E_{n}^{(k1)}\lambda ^ {k_{1}+k_{2}}c_{nm'}^{( k_{2})}|\psim'}^{(0)}\rangle

\sum​​m}c_{nm}^{(0)}E_{m}^{(0)}|\psi​​m}^{(0)}\rangle +\sum​​k =1}\sum m \lambda k(c_{nm}^{(k)}E_{m}^{(0)}+c_{nm}^{(k-1)}V )|\psim}^ {(0)}\rangle =\summ'}c_{nm'}^{(0)}E_{n}^{(0)}|\psi m'}^{(0)}\rangle +\sumk1 +k2=1}\summ'E_{n}^{(k1)}\lambda k_{1}+k_{2}}c_{nm'}^{(k_{2})}|\psim'}^ {(0)}\rangle

\sum​​m}c_{nm}^{(0)}(E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)})|\psi﻿m}^ { (0)}\rangle +\sum k=1}\sum m}\lambda k}(c_{nm}^{(k)}E_{m}^{(0)}+ c_{nm}^{( k-1)}V)|\psim}^{(0)}\rangle =\sumk_{1}+k_{2}=1}\sum m'}E_{n}^{(k_{1}) }\lambda{k_{1}+k_{2}}c_{nm'}^{(k_{2})}|\psim '}^{(0)}\range

Denne likheten må tilfredsstilles for hver ordre på . Den første termen på venstre side av den siste linjen tilsvarer rekkefølgen og må være identisk null siden på høyre side av likhet er det ingen termer i den rekkefølgen i . Dette innebærer at for at hele summen skal forsvinne, er , hvor er Kronecker-deltaet . $\lambda$ $k=0$ $\lambda$ $c_{nm}^{(0)}=\deltaNM}$ $\deltanm}$

På den annen side, når vi har på venstre side den første rekkefølgen er oppnådd på høyre side når , det er når eller når . Derfor har du $k=1$ $\lambda$ $k_{1}+k_{2}=1$ $k_{1}=1\wedge k_{2}=0$ $k_{1}=0\wedge k_{2}=1$

\sum​​m}(c_{nm}^{(1)}E_{m}^{(0)}+c_{nm}^{(0)}V)|\psi​​m} {(0)}\rangle =\summ'}(E_{n}^{(1)}c_{nm'}^{(0)}+E_{n}^{(0)}c_ {nm'} ^{(1)})|\psim'}^{(0)}\rangle

For den andre rekkefølgen, og , og , deretter $k=2$ $k_{1}=2\wedge k_{2}=0$ $k_{1}=1\wedge k_{2}=1$ $k_{1}=0\wedge k_{2}=2$

\sum​​m}(c_{nm}^{(2)}E_{m}^{(0)}+c_{nm}^{(1)}V)|\psi​​m} {(0)}\rangle =\summ'}(E_{n}^{(2)}c_{nm'}^{(0)}+E_{n}^{(1)}c_ {nm'} ^{(1)}+E_{n}^{(0)}c_{nm'}^{(2)})|\psim'}^{(0)}\rangle

For den tredje orden, og , , og , deretter $k=3$ $k_{1}=3\wedge k_{2}=0$ $k_{1}=2\wedge k_{2}=1$ $k_{1}=1\wedge k_{2}=2$ $k_{1}=0\wedge k_{2}=3$

\sum​​m}(c_{nm}^{(3)}E_{m}^{(0)}+c_{nm}^{(2)}V)|\psi​​m} {(0)}\rangle =\summ'}(E_{n}^{(3)}c_{nm'}^{(0)}+E_{n}^{(2)}c_ {nm'} ^{(1)}+E_{n}^{(1)}c_{nm'}^{(2)}+E_{n}^{(0)}c_{nm'}^{ (3)} )|\psim'}^{(0)}\rangle

og så videre til ønsket rekkefølge. Fra de tidligere likhetene er det mulig å beregne alle koeffisientene til de lineære kombinasjonene og korreksjonene til energiene . For å få dem, går vi frem som følger: først bruker vi det faktum at , for henholdsvis de tre ordrene har vi, $c_{nm}^{(k)}$ $E_{n}^{k}$ $c_{nm}^{(0)}=\deltaNM}$

\sum​​m}c_{nm}^{(1)}E_{m}^{(0)}|\psi​​m}^{(0)}\rangle +V|\psi _ {n}^{(0)}\rangle =E_{n}^{(1)}|\psin}^{(0)}\rangle +\summ'}E_{n}^ {(0)}c_ {nm'}^{(1)}|\psim'}^{(0)}\rangle

\sum​​m}(c_{nm}^{(2)}E_{m}^{(0)}+c_{nm}^{(1)}V)|\psi​​m} (0)}\rangle =E_{n}^{(2)}|\psin}^{(0)}\rangle +\summ'}(E_{n}^{(1)}c_{nm'} ^{(1)}+E_{n}^{(0)}c_{nm'}^{(2)})|\psim'}^{(0) }\range

\sum​​m}(c_{nm}^{(3)}E_{m}^{(0)}+c_{nm}^{(2)}V)|\psi​​m} (0)}\rangle =E_{n}^{(3)}|\psin}^{(0)}\rangle +\summ'}(E_{n}^{(2)}c_{nm'} ^{(1)}+E_{n}^{(1)}c_{nm'}^{(2)}+E_{n}^{(0)}c_{nm '}^{(3)} )|\psim'}^{(0)}\rangle

For å finne korreksjonene til energien, multipliser med BH -en og bruk den , og få deretter $\langle \psin}^{(0)}|$ $\langle \psin}^{(0)}|\psim}^{(0)}\rangle =\deltanm}$

c_{nn}^{(1)}E_{n}^{(0)}+\langle \psi​​n}^{(0)}|V|\psi​​n}^{( 0)}\rangle =E_{n}^{(1)}+E_{n}^{(0)}c_{nn}^{(1)}

c_{nn}^{(2)}E_{n}^{(0)}+\sum​​m}c_{nm}^{(1)}\langle \psi​​n}^{ (0)}|V|\psim}^{(0)}\rangle =E_{n}^{(2)}+(E_{n}^{(1)}c_{nn}^{ (1) }+E_{n}^{(0)}c_{nn}^{(2)})

c_{nn}^{(3)}E_{n}^{(0)}+\sum​​m}c_{nm}^{(2)}\langle \psi​​n}^{ (0)}|V|\psim}^{(0)}\rangle =E_{n}^{(3)}+(E_{n}^{(2)}c_{nn}^{ (1) }+E_{n}^{(1)}c_{nn}^{(2)}+E_{n}^{(0)}c_{nn}^{(3)})

Omorganisere de tidligere uttrykkene og løse for ønsket korreksjon, vi har

E_{n}^{(1)}=\langle \psi​​n}^{(0)}|V|\psi​​n}^{(0)}\rangle

E_{n}^{(2)}=\sum​​m}c_{nm}^{(1)}\langle \psi​​n}^{(0)}|V|\psi _ {m}^{(0)}\rangle -E_{n}^{(1)}c_{nn}^{(1)}

E_{n}^{(3)}=\sum​​m}c_{nm}^{(2)}\langle \psi​​n}^{(0)}|V|\psi _ {m}^{(0)}\rangle -(E_{n}^{(2)}c_{nn}^{(1)}+E_{n}^{(1)}c_{nn}^{ (to)})

På denne måten har korreksjonene for energiene blitt oppnådd i form av rekursive forhold fra den første korreksjonen hvis verdi er matriseelementet . Korreksjonene avhenger også av koeffisientene til de lineære kombinasjonene. Disse kan bli funnet med et lignende resonnement, faktisk hvis vi i stedet for å måtte multiplisere med , multiplisere med med , har $E_{n}^{(1)}=\langle \psin}^{(0)}|V|\psin}^{(0)}\rangle$ $\langle \psin}^{(0)}|$ $\langle \psil}^{(0)}|$ $l\neq n$

c_{nl}^{(1)}E_{l}^{(0)}+\langle \psi​​l}^{(0)}|V|\psi​​n}^{( 0)}\rangle =E_{n}^{(0)}c_{nl}^{(1)}

c_{nl}^{(2)}E_{l}^{(0)}+\sum​​m}c_{nm}^{(1)}\langle \psil}^{ (0) }|V|\psim}^{(0)}\rangle =E_{n}^{(1)}c_{nl}^{(1)}+E_{n}^{( 0)}c_{nl }^{(2)}

c_{nl}^{(3)}E_{l}^{(0)}+\sum​​m}c_{nm}^{(2)}\langle \psil}^{ (0) }|V|\psim}^{(0)}\rangle =E_{n}^{(2)}c_{nl}^{(1)}+E_{n}^{( 1)}c_{nl }^{(2)}+E_{n}^{(0)}c_{nl}^{(3)}

Ombestilling for denne saken,

c_{nl}^{(1)}={\frac {\langle \psil}^{(0)}|V|\psin}^{(0)}\rangle } {E_{n}^ {(0)}-E_{l}^{(0)}}}

c_{nl}^{(2)}={\frac {\sum​​m}c_{nm}^{(1)}\langle \psi​​l}^{(0)}|V |\psim}^{(0)}\rangle -E_{n}^{(1)}c_{nl}^{(1)}}{E_{n}^{(0)}-E_ {l} ^{(0)}}}

c_{nl}^{(3)}={\frac {\sum​​m}c_{nm}^{(2)}\langle \psi​​l}^{(0)}|V |\psim}^{(0)}\rangle -(E_{n}^{(2)}c_{nl}^{(1)}+E_{n}^{(1)}c_{nl}^ {(2)})}{E_{n}^{(0)}-E_{l}^{(0)}}}

Koeffisientene beregnes ved tilstandsnormalisering . Når alle koeffisientene og energikorreksjonene i ønsket rekkefølge er oppnådd, erstattes de i de opprinnelig eksponerte uttrykkene for å bestemme henholdsvis egentilstandene til og egenenergiene til nevnte operator. $c_{nn}^{(k)}$ $|\psin}\rangle$ $H$

For eksempel, hvis det er ønskelig å beregne korreksjonen for førsteordens energi og de tilsvarende egentilstandene, vil uttrykkene

|\psi​​n}\rangle =\sum​​m}\sum​​k}\lambda​​k}c_{nm}^{(k)}|\psi​​m}^{ (0)}\range

E_{n}=\sum​​k}\lambda​​k}E_{n}^{(k)}

de er kuttet for å forbli $k=1$

|\psi​​n}\rangle =\sum​​m}c_{nm}^{(0)}|\psi​​m}^{(0)}\rangle +\sum​​m }c_{nm}^{(1)}|\psim}^{(0)}\rangle

E_{n}=E_{n}^{(0)}+E_{n}^{(1)}

Deretter erstattes de tidligere funnet resultatene

|\psi​​n}\rangle =(1+c_{nn}^{(1)})|\psi​​n}^{(0)}\rangle +\sum​​m\neq n}{\frac {\langle \psil}^{(0)}|V|\psin}^{(0)}\rangle }{E_{n}^{(0)}- E_{l}^{ (0)}}}|\psim}^{(0)}\rangle

E_{n}=E_{n}^{(0)}+\langle \psi​​n}^{(0)}|V|\psi​​n}^{(0)}\rangle

og tilnærmingene til tilstandene og energiene for problemet med forstyrrelsen er oppnådd . $v$

Utartet kasus

La oss nå se tilfellet der den uforstyrrede operatøren har degenererte egenverdier. La oss kalle disse egenfunksjonene (som vi vil ta ortonormale ) assosiert med egenverdien . $\displaystyle {{\hat {H}}_{0}}$ $|\psin}^{k}\rangle$ $\langle \psin}^{p}|\psim}^{k}\rangle =\deltanm}\deltakp}$ $\displaystyle {E_{n}^{(0)}}$

{\hat {H}}_{0}|\psi​​n}^{k}\rangle =E_{n}^{(0)}|\psi​​n}^{k}\ område

Vi må huske at de lineære kombinasjonene av de degenererte egentilstandene til samme energinivå danner et vektorunderrom av Hilbertrommet til det fysiske systemet. Det vil si at enhver lineær kombinasjon av tilstandene i seg selv er en egentilstand med samme egenverdi. I dette tilfellet oppstår matematiske komplikasjoner som tvinger oss til å vurdere kun tilnærmingene til første orden i energien og til nullorden i egenfunksjonene. Faktisk prøver vi å løse: $|\psin}^{k}\rangle$ $\displaystyle {{\hat {H}}_{0}}$

({\hat {H}}_{0}+\lambda {\hat {V}})|\psi \rangle =E|\psi \rangle

hvor vi antar at vi kan skrive

|\psi \rangle =\sum​​k}C_{k}|\psi​​n}^{k}\rangle

E=E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}

hvor koeffisientene er av orden null i . Bytter inn i Schrödinger-ligningen : $C_k$ $\lambda$

\sum​​k}C_{k}{\hat {V}}|\psi​​n}^{k}\rangle =E_{n}^{(1)}\sum​​k} C_{k}|\psin}^{k}\rangle

Å gjøre indre produkt med og definere får vi: $|\psin}^{p}\rangle$ $V_{pk}=\langle \psin}^{p}|{\hat {V}}|\psin}^{k}\rangle$

\sum​​k}V_{pk}C_{k}=E_{n}^{(1)}\sum​​k}C_{k}\delta​​pk}

Hvis vi vurderer matrisen dannet av matriseelementene og kolonnevektoren (av elementer ), er det lett å se at ligningen ovenfor kan skrives i matriseform: $v$ $V_{pk}$ $C$ $C_k$

VC=E_{n}^{(1)}C

Ovenstående ligning er en egenverdiligning. Siden vi krever løsninger som ikke er null for egenfunksjonene, må det være sant at:

|V-E_{n}^{(1)}I|=0

Den forrige er en gradslikning lik rekkefølgen av degenerasjon av nivået , og den har generelt forskjellige løsninger. Disse løsningene vil være korreksjonene (til første orden i ) av energien. De tilsvarende egentilstandene er løsningene av ligningene for (merk at i ligninger av denne typen er det alltid en vilkårlig ukjent som da vil være den som tillater normalisering av egentilstanden). Siden generelt løsningene for vil være forskjellige, vil det ikke være mer degenerasjon i det forstyrrede systemet. Forstyrrelsen sies å bryte degenerasjonen . I andre tilfeller kan degenerasjonen delvis brytes, det vil si at man kan oppnå et egentilstandssystem med en lavere degenerasjon enn originalen. $\displaystyle {g_{n}}$ $E_{n}^{(0)}$ $\displaystyle {g_{n}}$ $\lambda$ $C_k$ $E_{n}^{(1)}$

Mange-kroppsforstyrrelsesteori

Også kalt "Möller-Plesset perturbation theory" og "Rayleigh and Schrödinger perturbation theory" på grunn av dens tidlige bruk i kvantemekanikk, kalles den "mangekropp" på grunn av sin popularitet blant fysikere som arbeider med uendelige systemer. For dem er overensstemmelse med størrelsen på problemet, som diskuteres nedenfor, åpenbart en sak av stor betydning.

Diagrammatisk representasjon og samsvar med problemstørrelse

Perturbasjonsteori er, i likhet med samspillet mellom konfigurasjoner , en systematisk prosedyre som kan brukes til å finne korrelasjonsenergien , utover Hartree-Fock- nivået . Perturbasjonsteori er ikke en variasjonsmetode, så den gir ikke øvre grenser for energien, men bare suksessivt bedre tilnærminger. På den annen side stemmer det med størrelsen på problemet (det vil si: energien til energiene beregnet for to systemer er lik energien beregnet for sumsystemet).

RP Feynman utviklet en diagrammatisk representasjon av Rayleigh og Schrödinger perturbasjonsteorien, og brukte den i sitt arbeid med kvanteelektrodynamikk. Inspirert av ham brukte J. Goldstone disse representasjonene for å demonstrere konsistensen av utskjæring (han viste at visse bidrag, som tilsynelatende brøt konsistensen, systematisk opphevet enhver forstyrrelsesrekkefølge).

Ved hjelp av de samme representasjonene utførte HP Kelly først den uavhengige elektronpartilnærmingen ved å legge til visse deler av forstyrrelsen (visse diagrammer) i uendelig rekkefølge.

Anvendelser av perturbasjonsteori

Perturbasjonsteori er et ekstremt viktig verktøy for beskrivelsen av virkelige kvantesystemer, siden det er svært vanskelig å finne eksakte løsninger på Schrödinger-ligningen fra Hamiltonianere med moderat kompleksitet. Faktisk er de fleste Hamiltonianere som eksakte funksjoner er kjent for, for eksempel hydrogenatomet , den kvanteharmoniske oscillatoren og partikkelen i en boks , for idealiserte til å beskrive virkelige systemer. Gjennom perturbasjonsteori er det mulig å bruke løsninger av enkle Hamiltonianere for å generere løsninger for et bredt spekter av komplekse systemer. For eksempel, ved å legge til et lite forstyrrende elektrisk potensial til den kvantemekaniske modellen av hydrogenatomet, kan de små avvikene i spektrallinjene til hydrogen forårsaket av et elektrisk felt ( Stark-effekten ) beregnes. (Merk at strengt tatt, hvis det eksterne elektriske feltet var ensartet og utvidet til det uendelige, ville det ikke vært bundet, og elektronene ville ende opp med å tunnelere ut av atomet, uansett hvor svakt feltet er. Stark-effekten er en pseudo tilnærming .)

Løsningene produsert av perturbasjonsteori er ikke eksakte, men de er ofte ekstremt vellykkede. Vanligvis uttrykkes resultatet i form av en uendelig polynomekspansjon som raskt konvergerer til den eksakte verdien når den legges til i høy grad (vanligvis asymptotisk). I teorien om kvanteelektrodynamikk , der elektron - foton -interaksjonen behandles pertrubativt, stemmer beregningen av elektronets magnetiske moment med de eksperimentelle resultatene til de første 11 signifikante figurene. I kvanteelektrodynamikk og kvantefeltteori brukes spesielle beregningsteknikker, kjent som Feynman-diagrammer , for å systematisk legge til termene i polynomserier.

Under visse omstendigheter er ikke perturbasjonsteorien den rette veien å gå. Dette er tilfellet når systemet som studeres ikke kan beskrives av en liten forstyrrelse pålagt et enkelt system. I kvantekromodynamikk , for eksempel, kan ikke interaksjonen av kvarker med gluonfeltet behandles forstyrrende ved lave energier, fordi interaksjonsenergien blir for stor. Perturbasjonsteori kan heller ikke beskrive tilstander med ikke-kontinuerlig generering, inkludert bundne tilstander og ulike kollektive fenomener som solitoner. Et eksempel vil være et system av frie partikler (uten interaksjon), der en attraktiv interaksjon introduseres. Avhengig av formen for interaksjonen, kan et helt nytt sett med egentilstander genereres, som vil tilsvare grupper av partikler bundet til hverandre. Et eksempel på dette fenomenet kan finnes i konvensjonell superledning , der fononmediert tiltrekning mellom ledningselektroner fører til dannelsen av sterkt korrelerte elektroner, kjent som Cooper-par . Med denne typen systemer må andre tilnærmingsskjemaer brukes, for eksempel variasjonsmetoden eller WKB-tilnærmingen .

Problemet med ikke-forstyrrende systemer har blitt løst ved bruk av moderne datamaskiner . Det er nå mulig å oppnå ikke-perturbative numeriske løsninger på visse problemer ved hjelp av metoder som Density Functional Theory (DFT). Disse fremskrittene har vært spesielt nyttige for feltet kvantekjemi . Datamaskiner har også blitt brukt til å utføre perturbasjonsteoretiske beregninger med ekstraordinært høye presisjonsnivåer, noe som er viktig i partikkelfysikk for å oppnå resultater som kan sammenlignes med eksperimentelle resultater.

Se også

adiabatisk teorem

Referanser

Bibliografi

William E. Wiesel (2010). Moderne astrodynamikk . Ohio: Aphelion Press. s. 107. ISBN 978-145378-1470 .
Cropper, William H. (2004), Great Physicists: The Life and Times of Leading Physicists from Galileo to Hawking , Oxford University Press , s. 34, ISBN 978-0-19-517324-6 .
Perturbasjonsteori . N. N. Bogolyubov, Jr. (opphavsmann), Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Perturbation_theory&oldid=11676
Sakurai, JJ, og Napolitano, J. (1964,2011). Moderne kvantemekanikk (2. utgave), Addison Wesley ISBN 978-0-8053-8291-4 . Kapittel 5.
Martinez-Carranza, J.; Soto-Eguibar, F.; Moya-Cessa, H. (2012). "Alternativ analyse til forstyrrelsesteori i kvantemekanikk". The European Physical Journal D 66. doi:10.1140/epjd/e2011-20654-5. redigere