Materialmotstand

Klassisk styrke av materialer er en disiplin innen maskinteknikk , konstruksjonsteknikk , sivilingeniør og materialteknikk som studerer mekanikken til deformerbare faste stoffer ved å bruke forenklede modeller. Styrken til et element er definert som dets evne til å motstå påkjenninger og påførte krefter uten å gå i stykker, få permanente deformasjoner eller forringes på noen måte.

En materialstyrkemodell etablerer et forhold mellom de påførte kreftene , også kalt belastninger eller handlinger, og spenningene og forskyvningene indusert av dem. Generelt gjør de geometriske forenklingene og restriksjonene pålagt på påføringsmåten for lastene feltet for deformasjoner og spenninger lett å beregne.

For mekanisk utforming av elementer med kompliserte geometrier, er motstanden til materialer vanligvis rikelig, og det er nødvendig å bruke teknikker basert på teorien om elastisitet eller den mer generelle deformerbare solidmekanikken. Disse problemene som oppstår når det gjelder spenninger og tøyninger kan deretter løses på en svært omtrentlig måte med numeriske metoder som finitt elementanalyse .

Materialstyrketilnærming

Teori om deformerbare faste stoffer krever generelt arbeid med påkjenninger og tøyninger. Disse størrelsene er gitt av tensorfelt definert over tredimensjonale domener som tilfredsstiller normalt komplekse differensialligninger.

For visse geometrier som er tilnærmet endimensjonale ( bjelker , søyler , takstoler , buer, etc.) eller todimensjonale ( plater og skjell , membraner , etc.) kan studien imidlertid forenkles og kan analyseres ved å beregne indre krefter definert på en linje eller en overflate i stedet for spenninger definert over et tredimensjonalt domene. I tillegg kan deformasjonene bestemmes med de indre kreftene gjennom en viss kinematisk hypotese. Oppsummert, for disse geometriene kan hele studien reduseres til studiet av alternative størrelser til tøyninger og spenninger.

Det teoretiske skjemaet for en styrke av materialanalyse inkluderer:

Den kinematiske hypotesen fastslår hvordan deformasjonene eller forskyvningsfeltet vil være for en bestemt type elementer under visse typer forespørsler. For prismatiske stykker er de vanligste hypotesene Bernouilli-Navier-hypotesen for bøying og Saint-Venant-hypotesen for torsjon .
Den konstitutive ligningen , som etablerer et forhold mellom tøyningene eller forskyvningene som kan utledes fra den kinematiske hypotesen og de tilhørende spenningene. Disse ligningene er spesielle tilfeller av Lamé – Hooke-ligningene .
Ekvivalensligninger er ligninger i integralform som relaterer spenninger til indre krefter .
Likevektslikningene relaterer indre spenninger til ytre krefter.

I praktiske applikasjoner er analysen enkel. Et ideelt beregningsskjema som består av endimensjonale eller todimensjonale elementer bygges, og forhåndsetablerte formler brukes basert på typen forespørsel som elementene presenterer. De forhåndsetablerte formlene som ikke trenger å utledes for hvert enkelt tilfelle, er basert på skjemaet til fire foregående punkter. Mer spesifikt følger den praktiske løsningen av et materialeresistensproblem følgende trinn:

Beregning av innsats , likevektslikninger og kompatibilitetsligninger som er nødvendige for å finne den interne innsatsen basert på påførte krefter, foreslås.
Motstandsanalyse , spenningene beregnes fra de indre kreftene. Forholdet mellom spenninger og tøyninger avhenger av spenningstype og tilhørende kinematisk hypotese: Bernouilli- bøyning , Timoshenko -bøyning , skjevbøyning , spenning , knekking , Coulomb-torsjon , Collignon-teori for skjærspenninger , etc.
Stivhetsanalyse , de maksimale forskyvningene beregnes fra de påførte kreftene eller indre spenningene. For dette kan man ty direkte til formen til den kinematiske hypotesen eller til ligningen til den elastiske kurven , Navier-Bresse vektorformlene eller Castigliano-setningene .

Kinematisk hypotese

Den kinematiske hypotesen er en matematisk spesifikasjon av forskyvningene til et deformerbart fast stoff som gjør at deformasjonene kan beregnes som en funksjon av et sett med ukjente parametere.

Konseptet brukes spesielt ved beregning av lineære elementer (for eksempel bjelker ) og todimensjonale elementer, hvor enklere funksjonelle sammenhenger kan oppnås takket være den kinematiske hypotesen. Dermed, takket være den kinematiske hypotesen, kan forskyvningene på ethvert punkt av det deformerbare faststoffet i et tredimensjonalt domene relateres til de spesifiserte forskyvningene på et endimensjonalt eller todimensjonalt sett.

Kinematisk hypotese om lineære elementer

Styrken til materialer foreslår for lineære elementer eller mekaniske prismer , som bjelker og søyler , der forskyvningen av ethvert punkt kan beregnes fra spesifiserte forskyvninger og rotasjoner rundt den barysentriske aksen . Dette betyr at, for eksempel, for å beregne en stråle , i stedet for å spesifisere forskyvningene til et hvilket som helst punkt i form av tre koordinater, kan vi uttrykke dem som en funksjon av en enkelt koordinat rundt den barysentriske aksen, noe som fører til systemer med relativt enkel differensial ligninger. Det finnes ulike typer kinematiske hypoteser avhengig av typen spenning på bjelken eller endimensjonale element:

Navier-Bernouilli-hypotesen , som brukes for langstrakte lineære elementer som er utsatt for bøyning når skjærtøyningene er små.
Timosjenkos hypotese , som brukes for lineære elementer utsatt for bøyning i et helt generelt tilfelle siden skjærdeformasjon ikke blir neglisjert.
Saint - Venants hypotese for forlengelse , brukt i deler med normal spenning for områder av bjelken langt fra belastningsområdet.
Saint-Venant-hypotesen for torsjon brukes for prismatiske deler utsatt for torsjon og for deler med stor torsjonsstivhet .
Coulombs hypotese brukes for prismatiske deler utsatt for vridning og i deler med høy torsjonsstivhet og sirkulært eller rørformet snitt. Denne hypotesen utgjør en spesialisering av det forrige tilfellet.

Kinematisk hypotese om overflateelementer

For plater og skjell som er utsatt for bøyning , brukes to hypoteser, som kan settes i samsvar med bjelkehypotesene:

Love-Kirchhoff-hypotese
Reissner–Mindlin hypotese

Konstitutiv ligning

De konstitutive ligningene for motstanden til materialer er de som forklarer oppførselen til materialet, generelt blir Lamé-Hooke-ligningene for lineær elastisitet tatt som konstitutive ligninger . Disse ligningene kan spesialiseres for lineære og overflateelementer. For lineære elementer i beregningen av seksjonene, kan spenningene på ethvert punkt (y,z) av seksjonen skrives som en funksjon av deformasjonene som:

\sigma (y,z)=E\ \varepsilon (y,z)

{\begin{cases}\sigma​​xx}=\sigma &\varepsilon​​xx}=\varepsilon \\\sigma​​yy}=0&\varepsilon​​yy}=-\nu \varepsilon \\\sigma zz=0&\varepsilon zz=-\nu \varepsilon \end{cases}}

På den annen side, for overflateelementer som hovedsakelig er utsatt for bøyning, for eksempel plater, er spesialiseringen av Hookes ligninger:

${\begin{bmatrix}\sigma−xx}\\\sigmaåå}\\\sigmazz}\end{bmatrix}}={\frac {E}{1-\nu ^ { 2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilonxx}\\\varepsilonåå}\\ \repsilon zz}\end{bmatrix}}$

I tillegg til elastiske konstitutive ligninger, inkluderer flere forskrifter i strukturell beregning plastiske beregningsmetoder der konstitutive plastisitetsligninger brukes .

Ekvivalensligninger

Ekvivalensligningene uttrykker de resulterende spenningene fra spenningsfordelingen. Takket være denne endringen er det mulig å skrive likevektsligninger som direkte relaterer de påførte kreftene til de indre kreftene.

Lineære elementer

I rette lineære elementer velges de kartesiske koordinatene for å representere geometrien og uttrykke spenninger og anstrengelser normalt med X-aksen parallelt med den barysentriske aksen til stykket, og Y- og Z-aksene sammenfallende med treghetens hovedretninger . I dette koordinatsystemet er forholdet mellom normalspenning ( N x ), skjærspenninger ( V y , V z ), torsjonsmoment ( M x ) og bøyemomenter ( M y , M z ):

{\begin{matrix}N_{x}=\int​​\Sigma }\sigma​​x}dydz&V_{y}=\int​​\Sigma }\tau​​xy}dydz&V_{z}= \int \Sigma }\tau xz dydz\\M_{x}=\int \Sigma }(-\tauxy}z+\tauxzy)dydz&M_{y}= \int\Sigma }z\sigmaxxdydz&M_{z}=\int\ Sigma }-y\sigmaxxdydz\end{matrise}}

Der spenningene som vises er komponentene i spenningstensoren for et prismatisk stykke:

[T]_{xyz}={\begin{bmatrix}\sigma​​x}&\tau​​xy}&\tau​​xz}\\\tau​xy}&0&0\\\tau xz}&0&0\end{bmatrix}}

Todimensjonale elementer

For todimensjonale elementer er det vanlig å ta et system med to koordinater (kartesisk eller krumlinjet) som faller sammen med midtoverflaten, den tredje koordinaten er på linje med tykkelsen. For en flat plate med tykkelse 2t og med et koordinatsystem der XY-planet faller sammen med midtplanet. Spenningene er sammensatt av 4 membranspenninger (eller aksiale spenninger per arealenhet), 4 bøyemomenter og 2 skjærspenninger. Membranspenninger ved hjelp av et sett med ortogonale koordinater på et Reissner -Mindlin-skall: $n_{uu},n_{uv},n_{vu},n_{vv}\,$ $(u,v)\,$

${\begin{cases}n_{uu}=\int−t}^{+t}\left(1-{\frac {z}{R_{u}}}\right)\sigma _ {uu }\ dz&n_{vu}=\int-t}^{+t}\left(1-{\frac {z}{R_{v}}}\right)\sigmauv}\ dz \\n_{uv}= \int-t}^{+t}\left(1-{\frac {z}{R_{u}}}\right)\sigmauv}\dz&n_{vv }=\int−t}^{+t} \left(1-{\frac {z}{R_{v}}}\right)\sigmavv}\ dz\end{cases}}$

hvor er krumningsradiene i hver av koordinatretningene og z er høyden over middeloverflaten til arket. Skjærspenningene og bøyemomentene per arealenhet er gitt av: $R_{u},R_{v}$

${\begin{cases}v_{u}=\int−t}^{+t}\left(1-{\frac {z}{R_{u}}}\right)\sigma _ {uz }\dz&v_{v}=\int-t}^{+t}\left(1-{\frac {z}{R_{v}}}\right)\sigmavz}\dz \\m_{uu}= \int-t}^{+t}\left(1-{\frac {z}{R_{u}}}\right)\sigmauu}z\dz&m_{ vu}=\int-t}^{+t }\left(1-{\frac {z}{R_{v}}}\right)\sigmauv}z\dz\\m_{uv }=\int -t}^{+t}\left(1- {\frac {z}{R_{u}}}\right)\sigmauv}z\ dz&m_{vv}=\int −t}^{+t}\left(1-{\frac {z}{R_{ v}}}\right)\sigmavv}z\dz\end{cases}}$

Stresstensoren til et generelt skall som Reissner-Mindlin-antakelsene gjelder for er:

$[T]_{uvz}={\begin{bmatrix}\sigmauu}&\sigmauv}&\sigmauz}\\\sigmauv}&\sigma vv}&\sigmavz}\\\sigmauz}&\sigmavz&0 \end{bmatrix}}$

Et spesielt tilfelle av det ovennevnte består av flate ark hvis deformasjon samsvarer med Love-Kirchhoff-hypotesen , karakterisert ved at normalvektoren til den deformerte medianoverflaten faller sammen med den deformerte normalen. Denne hypotesen er en veldig god tilnærming når skjærspenningene er ubetydelige og i så fall er bøyemomentene per arealenhet som funksjon av spenningene gitt av:

${\begin{matrix}m_{x}=\int−t}^{t}z\sigma−xx}dz&m_{y}=\int−t}^{t}z\ sigma yy dz&m_{yx }=m_{xy}=\int-t}^{t}z\sigmaxy dz\end{matrise}}$

Der spenningene som vises er komponentene i spenningstensoren for et Love-Kirchhoff-skall :

$[T]_{xyz}={\begin{bmatrix}\sigmaxis}&\sigmaxy}&0\\\sigmaxy}&\sigmaxyy}&0\\0&0&0 \end{bmatrix}}$

Likevektsligninger

Likevektslikningene for materialers styrke relaterer indre spenninger til påførte ytre krefter. Likevektslikningene for lineære elementer og todimensjonale elementer er resultatet av å skrive de elastiske likevektslikningene i form av spenninger i stedet for tøyninger.

Likevektsligningene for det generelle spenningsfeltet til lineær elastisitetsteori :

{\frac {\partial \sigmaxy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigmaxy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \ sigmaxz}{\partial z }}=bx

{\frac {\partial \sigma​​yx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma​​yy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \ sigmayz}{\partial z}}=b_{y}

{\frac {\partial \sigma​zx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma​zy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \ sigmazz}{\partial z}}=b_{z}

Hvis det i dem er et spørsmål om å erstatte spenningene med de indre kreftene, nås likevektslikningene for motstanden til materialer. Prosedyren, beskrevet nedenfor, er litt forskjellig for endimensjonale og todimensjonale elementer.

Likevektsligninger i rette lineære elementer

I en rett horisontal bjelke, på linje med X-aksen, og hvor lastene er vertikale og plassert på XY-planet, relaterer likevektsligningene bøyemomentet ( M z ), skjærspenningen ( V y ) med lasten vertikalt ( q y ) og har formen:

{\frac {dM_{z}}{dx}}=V_{y}\qquad \land \qquad {\frac {dV_{y}}{dx}}=-q_{y}\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {d^{2}M_{z}}{dx^{2}}}=-q_{y}

Likevektsligninger i todimensjonale plane elementer

Likevektslikningene for todimensjonale elementer (plater) ved bøyning, analogt med ligningene i forrige avsnitt for lineære elementer (bjelker), relaterer momentene per breddeenhet ( m x , m y , m xy ), med skjærspenningene per enhet bred ( v x , m y ) og den vertikale overflatebelastningen ( q s ):

{\begin{matrise}{\cfrac {\partial m_{x}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial m_{xy}}{\partial y}}=v_{x}\ \{\cfrac {\partial m_{xy}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial m_{y}}{\partial y}}=v_{y}\end{matrise}}\quad \ land \quad {\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}=-q_{s}\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {\partial 2}m_{x}}{\partial x^{2}}}+2{\frac {\partial 2}m_{xy}}{\partial y\partial x} }+{\ frac {\partial 2}m_{y}}{\partial y^{2}}}=-q_{s}

Forholdet mellom påkjenninger og påkjenninger

Den mekaniske utformingen av deler krever:

Kunnskap om spenningene, for å verifisere om disse overskrider materialets motstandsgrenser.
Kunnskap om forskyvningene, for å verifisere om de overskrider stivhetsgrensene som garanterer funksjonaliteten til det designet element.

Generelt kan beregning av spenninger tilnærmes med all generalitet fra elastisitetsteorien, men når geometrien til elementene er enkel nok (som i tilfellet med lineære eller todimensjonale elementer) kan spenningene og forskyvningene beregnes ut fra mye enklere måte gjennom metodene for styrke av materialer, enn direkte fra den generelle uttalelsen av det elastiske problemet .

Lineære eller endimensjonale elementer

Spenningsberegningen kan fås fra kombinasjonen av Navier-formelen for bøyning, Collignon-Jourawski- formelen og spenningsberegningsformlene for torsjon .

Beregningen av forskyvninger i lineære elementer kan utføres fra direkte metoder som den elastiske kurvelikningen , Mohrs teoremer eller matrisemetoden eller fra energimetoder som Castiglianos teoremer eller til og med ved beregningsmetoder.

Overflate eller todimensjonale elementer

Kjærlighet - Kirchhoff plateteori er den todimensjonale analogen til Euler-Bernouilli-stråleteorien . På den annen side er skallkalkulus den todimensjonale analogen til bueregning .

Den todimensjonale analogen for en plate av den elastiske kurveligningen er Lagranges ligning for avbøyningen av platens midtplan. For beregning av plater er bruk av variasjonsmetoder også hyppig.

Forholdet mellom innsats og forskyvninger

Et annet viktig problem i mange anvendelser av styrke av materialer er studiet av stivhet . Mer spesifikt krever visse anvendelser å sikre at under de virkende kreftene noen motstandsdyktige elementer aldri overskrider forskyvninger over en viss forhåndsbestemt verdi. Beregning av tøyninger fra spenninger kan bestemmes ved flere semi-direkte metoder som bruk av Castiglianos teorem , Navier-Bresse vektorformler, bruk av elastisk kurvelikning , stivhetsmatrisemetoden og andre numeriske metoder for de fleste komplekse saker.

Se også

Begreper om materialers styrke: stivhet , mekanisk balanse , bøying , torsjon .
Mekanikk for deformerbare faste stoffer : spenning , deformasjon , elastisitet .
Lineære motstandsdyktige elementer: bjelker , søyler , gitter , buer .
Overflatebestandige elementer: plater og ark , membraner .
Beregningsmetoder: spenningsregning , Castiglianos teoremer , Navier-Bresse-ligninger , Mohrs teoremer , stivhetsmatrisemetode , tre-moment-teorem
Stephen Timoshenko , ansett som faren til moderne maskinteknikk .

Referanser

Bibliografi

Timoshenko S. , Strength of Materials , 3rd ed., Krieger Publishing Company, 1976, ISBN 0-88275-420-3
Den Hartog, Jacob P., Strength of Materials , Dover Publications, Inc., 1961, ISBN 0-486-60755-0
Popov, Egor P., Engineering Mechanics of Solids , Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1990, ISBN 0-13-279258-3
Monleón Cremades, Salvador, Analyse av bjelker, buer, plater og ark , Polytechnic University of Valencia, 1999, ISBN 84-7721-769-6

Eksterne lenker

Materialresistens, i virtual.unal.edu.co (10-03-09)