Stråle

I ingeniørfag og arkitektur er en bjelke (av latin biga , bjelke, i sin tur fra latin biga , "to-hesters kjerre") [ 1 ] (også, bjelke ) et lineært konstruksjonselement som hovedsakelig fungerer i bøying . I bjelker dominerer lengden over de to andre dimensjonene og er vanligvis horisontal.

Bøyespenningen forårsaker trekk- og kompresjonsspenninger , og produserer maksimum i henholdsvis den nedre og den øvre akkorden, som beregnes ved å relatere bøyemomentet og det andre treghetsmomentet . Skjærkrefter eller stansesaks forekommer i områdene nær støttene . Vridningsspenninger kan også forekomme , spesielt i bjelkene som danner den ytre omkretsen av et gulv . Strukturelt studeres oppførselen til en stråle ved hjelp av en mekanisk prismemodell . [ referanse nødvendig ]

Euler – Bernoulli stråleteori

Bjelketeori er en del av styrken til materialer som tillater beregning av spenninger og tøyninger i bjelker. Selv om ekte bjelker er deformerbare faste stoffer , er det i bjelketeori gjort visse forenklinger takket være hvilke spenninger, forskyvninger og krefter i bjelkene kan beregnes omtrent som om de var endimensjonale elementer. Begynnelsen av stråleteori går tilbake til 1700-tallet, arbeid som ble startet av Leonhard Euler og Daniel Bernoulli . For studiet av bjelker vurderes et koordinatsystem der X-aksen alltid tangerer den barysentriske aksen til bjelken, og Y- og Z-aksene sammenfaller med treghetsaksene. De grunnleggende forutsetningene for stråleteori for enkel bøyning av en stråle som avbøyer seg i XY-planet er: [ referanse nødvendig ]

Hypotese for elastisk atferd . Bjelkematerialet er lineært elastisk, med Youngs modul E og ubetydelig Poissons forhold .
Vertikal pilhypotese . Ved hvert punkt avhenger den vertikale forskyvningen kun av x : u y ( x , y ) = w ( x ).
Nøytral fiberhypotese . Punktene til den nøytrale fiberen gjennomgår kun vertikal forskyvning og rotasjon: u x ( x , 0) = 0.
Spenningen vinkelrett på den nøytrale fiberen forsvinner: σ yy = 0.
Bernoullis hypotese . Flate seksjoner i utgangspunktet vinkelrett på bjelkeaksen forblir vinkelrett på bjelkeaksen når de er buet.

Hypoteser (1)-(4) definerer sammen Timosjenko-stråleteorien. Euler-Bernouilli-teorien er en forenkling av den forrige teorien, og aksepterer den siste hypotesen som nøyaktig (når den i virkelige bjelker er bare tilnærmet sann). Settet med hypoteser (1)-(5) fører til følgende kinematiske hypotese om forskyvningene:

u_{x}(x,y)=-y\theta z}(x)=-y{\frac {dw}{dx}}\qquad u_{y}(x,y)=w (x )

Tøyninger og spenninger i bjelker

Hvis komponentene til tøyningstensoren beregnes fra disse forskyvningene, kommer vi til:

\varepsilonxy}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}=-y{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}\ qquad \varepsilonxy }={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}=0\qquad \varepsilonxy}={\frac {1}{2}}\left({ \frac {\partial u_{x} }{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)={0}

Fra disse deformasjonene kan spenningene oppnås ved å bruke Lamé-Hooke-ligningene , forutsatt : $\sigmagr åå}={0},\sigmagrzz}={0}$

\sigma−xx}=-Ey{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}\qquad \sigma−xy}={0}

hvor E er den langsgående elastisitetsmodulen, eller Youngs modul, og G den tverrgående elastisitetsmodulen . Det er klart at Euler-Bernoulli-teorien ikke er i stand til å tilnærme den tangentielle tøyningsenergien, for dette formålet må Timoshenko-teorien brukes , der:

\varepsilonxy}={\frac {1}{2}}\left({\frac {dw}{dx}}-\theta z}\right)

Interne krefter i bjelker

Fra de tidligere resultatene og ekvivalensligningene kan normalspenningen , skjærspenningen og bøyemomentet som en del av en bjelke utsatt for enkel bøyning utsettes for i Euler-Bernouilli-teorien fås :

N_{x}=\int​​\Sigma }\sigma​​xx}dydz=0\qquad V_{y}=\int​​\Sigma }\sigma​​xy}dydz=2GA{\frac {dw}{dx}}\qquad M_{z}=\int\Sigma }y\sigmaxx}dydz=EI_{z}{\frac {d^{2}w}{dx^{2 }}}

hvor: Et tverrsnittsareal, I z treghetsmomentet langs aksen som bøyningen skjer rundt. Den siste av disse ligningene er nettopp den elastiske kurveligningen , en av de grunnleggende ligningene i bjelketeori som relaterer indre krefter til det vertikale forskyvningsfeltet.

Likevektsligninger

Likevektsligningene for en stråle er anvendelsen av statiske ligninger på et strålespenn i likevekt. Kreftene som griper inn på spennet vil være den ytre belastningen som påføres bjelken og skjærkreftene som virker på endepartiene som avgrenser spennet. Hvis spennet er i likevekt, innebærer dette at summen av vertikale krefter må være null, og også summen av kraftmomenter til den nøytrale fiberen må være null i retningen tangenten til den nøytrale fiberen. Disse to betingelsene kan bare oppfylles hvis variasjonen i skjærspenning og bøyemoment er relatert til den vertikale lasten per lengdeenhet ved:

{\frac {\partial V_{y}(x)}{\partial x}}=p_{y}(x)\qquad {\frac {\partial M_{z}(x)}{\partial x}}=V_{y}(x)

Beregning av spenninger i bjelker

Beregningen av spenninger i bjelker krever generelt å kjenne variasjonen til de indre kreftene og ut fra dem bruke den passende formelen avhengig av om bjelken utsettes for bøyning , torsjon , normalspenning eller skjærspenning . Strekkspenningen til en bjelke er gitt som en funksjon av de indre kreftene ved:

$[T]_{xyz}={\begin{bmatrix}\sigma &\tauy}&\tauz}\\\tauy}&0&0\\\tauz} &0&0\end{bmatrix}}$

hvor spenningene tilnærmet kan bestemmes ut fra de indre kreftene. Hvis et system med treghetshovedakser på bjelken betraktes, betraktet som et mekanisk prisme , viser spenningene forbundet med forlengelse, bøying, skjæring og torsjon seg å være:

\sigma ={\frac {N_{x}}{A}}+{\frac {M_{y}z}{I_{y}}}-{\frac {M_{z}y}{I_ {z}}}+\omega {\frac {B_{\omega }}{I_{\omega }}}

\tau​y}=\tau​​y,cort}+\tau​​y,tor}\qquad \tau​​z}=\tau​​z,cort}+\tau​​z ,tor}

hvor:

\sigma ;\taui,tor},\taui,cort}\;

er spenningene på tverrsnittet: normal eller vinkelrett spenning, og tangentielle torsjons- og skjærspenninger.

N_{x};M_{y},M_{z};B_{\omega }\;

, er de indre kreftene: aksialkraft, bøyemomenter og bimoment assosiert med torsjon.

A;I_{y},I_{z};\omega ,I_{\omega }\;

, er egenskapene til tverrsnittet til bjelken: areal, andre arealmomenter (eller treghetsmomenter), vridning og vridningsmoment .

De maksimale normal- og tangentielle spenningene på ethvert tverrsnitt av bjelken kan beregnes fra første ( ) og tredje ( ) hovedspenning : $\scriptstyle \sigma{I}\ \geq \ 0$ $\scriptstyle \sigmaIII}\ \leq \ 0$

\sigma​​I}={\frac {\sigma }{2}}+{\sqrt {{\frac {\sigma​​2}}{4}}+(\tau​​y}^ {2}+\tauz}^{2})}}\qquad ?III}={\frac {\sigma }{2}}-{\sqrt {{\frac {\sigma< 2}}{4}} +(?y}^{2}+?z}^{2})}}

\sigmamax}={\mbox{max}}(|\sigma{I}|,|\sigmaIII}|)\qquad \taumax}={\frac {\ sigmaI-?III}{2}

I metalliske bjelker brukes det ofte som et sviktkriterium at den ekvivalente Von Mises - spenningen på et tidspunkt overskrider en viss sluttspenning definert fra den elastiske grensen , i så fall kan sviktkriteriet skrives som:

{\displaystyle \sigmaVM}={\sqrt {\frac {(\sigmaI}-\sigmaII})^{2}+(\sigmaII}-\sigmaIII })^{2}+(?III-?I}) ^{2}{2}}}={\sqrt {?2}+3(? y} 2 + τ z ^ {2 )}}> σ u

Materialer brukt

Opp gjennom historien har bjelker blitt laget av ulike materialer; det mest egnede av de tradisjonelle materialene har vært tre , siden det tåler høye strekkpåkjenninger, noe som ikke er tilfelle med andre tradisjonelle stein- og keramiske materialer, som murstein . Tre er imidlertid et ortotropt materiale som har forskjellig stivhet og motstand avhengig av om påkjenningene er parallelle med trefibrene eller tverrgående. Av denne grunn krever moderne beregning av treelementer en mer fullstendig studie under komplekse påkjenninger enn den tidligere eksponerte Navier-Bernouilli-teorien.

Fra og med den industrielle revolusjonen ble bjelker laget av stål , som er et isotropisk materiale som Euler-Bernouilli-teorien om bjelker kan brukes direkte på. Stål har fordelen av å være et materiale med høyere styrke/vekt-forhold enn betong, i tillegg til å tåle både mye høyere trekkraft og kompresjon.

Fra andre halvdel av 1800-tallet er det i arkitekturen brukt armert betong og noe senere forspent og etterspent . Disse materialene krever en mer kompleks teori enn Euler-Bernouilli-teorien for deres beregning.

Se også

Stråleteori

Andre konstruksjonselementer

hvalbein , en finnet caissonbjelke
gitter (teknikk)
overligger
søyle
portiko
bjelkebro
utkrager

Referanser

↑ Lajo Pérez, Rosina (1990). Kunstleksikon . Madrid - Spania: Akal. s. 213. ISBN 978-84-460-0924-5 . |fechaacceso=krever |url=( hjelp )

Eksterne lenker

Wikimedia Commons er vert for en mediekategori for Beams .
Registrering av oppfordringer og deformasjoner i bjelker.
Stråleteori (eFunda).
cabierta.uchile.cl: Minimum vektbjelker .
På hval- eller hvalbjelken, en boksbjelke med finner