Plastisitet (fast mekanikk)

Plastisitet er en karakteristisk mekanisk oppførsel av visse anelastiske materialer som består av evnen til å deformeres permanent og irreversibelt når de utsettes for påkjenninger over dets elastiske område , det vil si over dets elastiske grense .

I metaller er plastisitet forklart i form av irreversible forskyvninger av dislokasjoner .

Introduksjon

I elastiske materialer, spesielt i mange duktile metaller, fører en liten enakset strekkspenning til elastisk oppførsel . Det betyr at små økninger i strekkspenning fører til små økninger i deformasjon, hvis belastningen blir null igjen går kroppen tilbake nøyaktig til sin opprinnelige form, det vil si at den har en fullstendig reversibel deformasjon. Imidlertid er det eksperimentelt bevist at det finnes en grense, kalt elastisk grense , slik at hvis en viss homogen funksjon av spenningene overskrider nevnte grense, så gjenstår gjenværende deformasjoner når belastningen forsvinner og kroppen går ikke nøyaktig tilbake til sin form. Det vil si at det oppstår ikke-reversible deformasjoner.

Denne typen elastoplastisk oppførsel beskrevet ovenfor finnes i de fleste kjente metaller, og også i mange andre materialer. Perfekt plastisk oppførsel er noe sjeldnere, og innebærer utseendet til irreversible deformasjoner uansett hvor liten påkjenningen, modelleringsleire og plastelina er veldig nær perfekt plastisk oppførsel. Andre materialer har også herdende plastisitet og trenger stadig større spenninger for å øke deres totale plastiske deformasjon. Og til og med tidligere oppførsel kan være ledsaget av viskøse effekter, som fører til at spenningene blir større i tilfeller med høye belastningshastigheter, denne oppførselen er kjent som viskoplastisitet .

Plassiteten til materialer er relatert til irreversible endringer i disse materialene. I motsetning til elastisk oppførsel som er termodynamisk reversibel, gjennomgår en plastisk deformert kropp entropiendringer, som forskyvninger av forskyvninger. Ved plastisk oppførsel spres en del av den mekaniske energien internt, i stedet for å bli transformert til elastisk potensiell energi .

Mikroskopisk, på skalaen til krystallgitteret av metaller, er plastisitet en konsekvens av eksistensen av visse ufullkommenheter i gitteret kalt dislokasjoner. I 1934 konkluderte Egon Orowan, Michael Polanyi og Geoffrey Ingram Taylor mer eller mindre samtidig med at plastisk deformasjon av duktile materialer kunne forklares i form av dislokasjonsteori . For å beskrive plastisitet brukes vanligvis et sett med ikke-lineære og tidsavhengige differensialligninger som beskriver endringene i komponentene til tøyningstensoren og spenningstensoren med hensyn til forrige tøyningsspenningstilstand og økningen i tøyning ved hvert øyeblikk.

Historie om plastisitet

Grunnlaget for den moderne teorien om plastisitet ble lagt på 1800-tallet med arbeidet til Tresca , Saint-Venant , Lévy og Bauschinger . Noen fremskritt i å forstå fenomenet ble gjort tidlig på 1900-tallet av Prandtl , Von Mises og A. Reuss. I denne første fasen ble konseptet irreversibel deformasjon, feilkriterier , herding og perfekt plastisitet introdusert, i tillegg til den inkrementelle formen til de konstitutive ligningene for plastisk deformasjon.

Like etter andre verdenskrig dukket arbeidet til Prager , Drucker og Hill opp , der større klarhet i formuleringen ble oppnådd og konveksiteten til flyteflatene ble etablert . Kort tid etter, fra 1960- tallet , var det noen matematiske fremskritt i teorien om partielle differensialligninger og variasjonsulikheter som skulle vise seg å være spesielt nyttige for teorien om plastisitet. Disse fremskrittene beviste at det naturlige rammeverket for å løse initialverdiproblemer i elastoplastiske faste stoffer var variasjonsulikheter. Sammenløpet av visse fremskritt innen solidmekanikk og matematikk ga opphav til nye teoretiske utviklinger, som artiklene av Moreau, monografiene til Duvaut og JL Lions og Temam er et eksempel på .

Plastisitetsmodeller

Generelt krever en plastisitetsmodell å definere flere elementer:

For det første er det i hovedspenningsrommet nødvendig å definere det såkalte tillatte spenningsområdet , som vil være et lukket (og muligens kompakt) sett av nevnte spenningsrom. Grensen til et slikt sett kalles vanligvis flyteflaten .
For punkter på det faste stoffet hvis hovedspenninger ligger innenfor området for tillatte spenninger, er oppførselen elastisk. For punkter på flyteflaten er det imidlertid nødvendig å definere en "strømningsregel" som forklarer hvordan den plastiske tøyningen vil øke som funksjon av økningshastigheten i spenningen og andre indre parametere dersom spenningen på et materiale som har nådd sin flytegrense.
Imperfekte plastisitetsmodeller vil kreve definisjonen av et sett med interne variabler som står for stivningen og forskyvningen av det tillatte spenningsområdet over tid som en funksjon av økningshastighetene til de andre variablene.

Eksistensen av interne variabler --- som graden av plastifisering (plastisk deformasjon), herding og andre --- gjør forholdet mellom spenninger og tøyninger mer komplekst enn i det elastiske tilfellet, spesielt gitt et nivå av tøyningselastiske spenninger kan ikke kjennes med mindre det er kjent hvordan de interne variablene har variert. Det faktum å ta hensyn til hvordan de interne variablene varierer betyr at et elastoplastisk problem generelt bare kan løses utvetydig som et dynamisk problem ved samtidig å løse likningene til følgende system:

${\begin{cases}{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {x,t} )=T({\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {x,t} ),{\boldsymbol {\xi }}(\mathbf {x,t} ),\mathbf {x} )\\{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {f} (\mathbf {x ,t} )\\{\dot {\boldsymbol {\xi }}}={\boldsymbol {\Phi }}({\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {x,t} ),{\boldsymbol { \xi }}(\mathbf {x,t} ),{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}(\mathbf {x,t} ),\mathbf {x} ),\end{cases}}$

hvor den første relasjonen uttrykker den konstitutive ligningen mellom den mekaniske spenningen ( ), deformasjonen ( ), de indre variablene ( ), for hvert punkt av det faste stoffet. Den andre relasjonen er ligningen i partielle deriverte som samler balansen av krefter mellom de indre spenningene og de påførte kreftene ( ) og den siste er den ordinære differensialligningen som gir strømningsregelen som uttrykker hvordan de indre variablene øker (spesielt plasten). deformasjon) over tid når materialet når en spenningstilstand der kryp oppstår. $\scriptstyle {\boldsymbol {\sigma }}$ $\scriptstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}$ $\scriptstyle {\boldsymbol {\xi }}$ $\scriptstyle {\mathbf {f}}$

Deformasjonsdeformasjon

Beskrivelsen av et plastmateriale krever både variabler som beskriver den totale deformasjonen og interne variabler som beskriver de irreversible endringene som skjer inne i materialet. Disse variablene griper også inn i spredningsforholdene til materialet. Termodynamiske hensyn fører til at Gibbs frie energi g [per volumenhet] er relatert til Helmholtz frie energi f , spenninger og tøyninger av forholdet: $\xi k}$

$g(\sigmaij},\xik})=\left(\sumi,j}\sigmaij}\varepsilonij}\right)-f(\ sigmaij,\xik),\qquad ?ij={\frac {\partial g}{\partial ?ij}}}$

Hvor:

g,f\,

Gibbs fri energi og Helmhotz fri energi per volumenhet,

\sigmaij}\,

er komponentene i stresstensoren ,

\varepsilon{ij}\,

er komponentene i tøyningstensoren og

\xi k}\,

er et sett med interne variabler relatert til irreversible endringer i materialet

Forholdet ovenfor innebærer:

( * ) ${\dot {\varepsilonsij}}}={\frac {\partial \varepsilonsij}}{\partial \sigmaMN}}}{\dot {\sigma }}_{ mn}+{\frac {\partial \varepsilon ij}}{\partial \xi k}}{\dot {\xi }}_{k}=\mathbf {A} :{\bold {symbol \dot {\sigma }}}+\mathbf {B } \cdot {\boldsymbol {\dot {\xi }}}$

Eksperimentelt er det kjent at compliance-tensoren ikke ser ut til å være påvirket av irreversible plastiske deformasjonsprosesser, som igjen vil innebære: ${\mathbf {A}}$

$0={\frac {\partial }{\partial \xik}}}{\frac {\partial \varepsilonij}}{\partial \sigmamn}}}}={\ frac {\partial }{\partial \sigmamn}}}{\frac {\partial \varepsilonij}}{\partial \xi k}}}={\frac {\partial \mathbf { B} }{\partial {\ fet skrift {\sigma }}}}$

Og i dette tilfellet er det en additiv dekomponering av deformasjonen , til elastisk deformasjon og plastisk deformasjon, fordi under hypotesen om uavhengighet av den plastiske deformasjonen, ( * ) kan integreres i formen: ${\mathbf {A}}$

$\varepsilonij}=\varepsilonij}^{e}({\boldsymbol {\sigma }})+\varepsilonij}^{p}({\boldsymbol {\xi }} )$

På den annen side er strømningsloven begrenset av en ulikhet knyttet til plastisk spredning av energi. Denne ulikheten følger av termodynamikkens andre lov i Clausius-Duhem-formen:

${\dot {f}}+s{\dot {T}}-{\boldsymbol {\sigma }}:{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}+{\frac {\mathbf {q } }{T}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}T\leq 0$

Hvor:

f,s\,

er Helmholtz fri energi og entropien per volumenhet.

T,\mathbf {q}

er temperaturen og varmestrømmen gjennom overflaten.

Konstitutive ligninger av plastisitet

Hookes lov brukt for lineære og reversible elastiske materialer er en konstitutiv ligning der spenningene beskrives som produktet av tensorkomponentene til den elastiske konstanttensoren av komponentene til tøyningstensoren . I denne loven er spenningene lineære kombinasjoner av deformasjonene, og det er ingen spredning av energi og derfor irreversibilitet. Av de grunner kan de ikke beskrive plastisitet. Faktisk må den matematiske beskrivelsen av plastisitet inkludere både irreversibiliteten eller spredningen av energi og ikke-lineariteten til uttrykkene som relaterer spenninger og tøyninger. Det finnes en god del matematiske modeller for plastisitet med disse egenskapene. I alle plastisitetsmodeller er forholdet mellom spenninger og tøyninger av typen:

( 1 ) $\sigmaij}=C_{ijkl}(\varepsilonkl}-\varepsilonkl}^{p})$

Hvor i de foregående og følgende ligningene Einstein-summeringskonvensjonen for gjentatte indekser brukes, og hvor i tillegg:

C_{ijkl}\,

, er komponentene i tensoren til materialets elastiske konstanter .

\varepsilon{ij}\,

, er komponentene i tøyningstensoren .

\varepsilon ij}^{p}\,

, er komponentene i den plastiske deformasjonen .

Den grunnleggende forskjellen mellom de ulike plastisitetsmodellene er flyteoverflaten og dermed måten plasttøyningene beregnes på, i tillegg til de mulige variasjonene i den viskoplastiske komponenten. Faktisk må en plastisitetsmodell i tillegg til ligning ( 1 ) spesifisere ytterligere to forhold:

Spesifikasjon av flyteflaten, som relaterer flytespenningen til spenningstilstanden og plastisk tøyning: $\sigmay}\,$

( 2 ) $\phi (\sigmaij},\varepsilonij}^{p})=\sigmay}-f_{2}(\sigmaij},\varepsilonij} p)$

Loven om plastisk flyt:

( 3 ) ${\dot {\varepsilon }}_{ij}^{p}={\begin{cases}f_{ij}(\sigmaij},\varepsilonij}^{p})( {\dot {f}}_{2}-{\dot {\sigma }}_{y})&\phi =0\\0&\phi <0\ \end{cases}},\qquad f_{ij }={\frac {\partial g_{p}}{\partial \sigmaij}}}$

Hvor

{\dot {\varepsilon }}_{ij}^{p}

, representerer den plastiske tøyningshastigheten .

{\dot {\sigma }}_{y}

, tidsderivatet av flytespenningen.

f_{ij}(\cdot )

, et sett med modellavhengige foreskrevne funksjoner som tydeliggjør hvordan plaststammer vokser.

Hvis ligningene ( 1 ) og ( 2 ) er utledet med hensyn til tid og ligning ( 3 ) legges til, har vi et system med tre ordinære differensialligninger med hensyn til tid, som sammen med de tilsvarende konturligningene som beskriver belastningene, verdiene initialer og andre begrensninger danner et elastoplastisk problem hvis løsning er unik i det lineære tilfellet. I det ikke-lineære tilfellet som ikke er vurdert her, er det ikke bevist at det er unikt .

J 2 plastisitetsmodell

Dette er en isotrop elasto-plastmodell uten klebrighet eller herding og er en av de enkleste elasto-plastmodellene. Spenningen i hvert øyeblikk er gitt av en rent elastisk spenning uavhengig av tøyningshastigheten:

( 1a ) $\sigmaij}=C_{ijkl}(\varepsilonkl}-\varepsilonkl}^{p})\,$

Hvor flyteflaten og plastsonen er gitt av den andre invarianten eller kvadratiske invarianten til den avvikende tensoren.

( 2a ) $\phi (\sigmaij)={\sqrt {J_{2}(\sigmaij})}}-{\frac {\sigmay}}{\sqrt {3} } }\leq 0,\qquad J_{2}={\frac {{\bar {\sigma}}_{ij}{\bar {\sigma}}_{ij}}{2}},\qquad { \ bar {\sigma }}_{ij}=\left(\sigmaij-{\frac {1}{3}}\sigmakk}\deltaij}\right)$

I ligningene ovenfor og i det som følger, er Einstein-summeringskonvensjonen brukt for gjentatte indekser. De ekstra grunnleggende ligningene for tidsutviklingen av flytestyrke og elastisk tøyning er:

( 2b ) ${\dot {\varepsilon}}_{ij}^{p}=\gamma {\frac {\partial \phi }{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}=\gamma {\frac {{\bar {\sigma }}_{ij}}{\sqrt {{\bar {\sigma}}_{kl}{\bar {\sigma }}_{kl}}}}=\langle {\ bar {\sigma }}_{kl}{\dot {\varepsilon }}_{kl}\rangle {\frac {{\bar {\sigma }}_{ij}}{{\bar {\sigma }} kl}{\bar {\sigma }}_{kl}}}$

Funksjonen er rampefunksjonen . Dette siste uttrykket indikerer at den plastiske tøyningstensoren er proporsjonal med den avvikende spenningstensoren. $\langle \cdot \rangle$

Denne modellen tilskriver elastisk oppførsel til materialet under flytegrensen og attributter økning i plastisk tøyning over det. Tøyningshastigheten spiller ingen rolle i den. Forholdet mellom stress og belastning er av formen:

( 1b ) ${\displaystyle \sigmaij}=C_{ijkl}(\varepsilonkl}-\varepsilonkl}^{p}),\qquad {\mbox{o}}\quad {\dot {\ sigma }}_{ij}=C_{ijkl}({\dot {\varepsilon }}_{kl}-{\dot {\varepsilon }}_{kl}^{p})+\sigma ik} ω kj + σ jk ω ki$

hvor de brukes til å beregne den objektive Jaumann endringshastigheten og hvor flyteflaten og arealet der plastiske deformasjoner oppstår er det samme som i J 2 plastisitetsmodellen , noe som vil bety at det vil være en økning i plastisk deformasjon alltid og når : $\omega{kj}$

( 2c ) $\phi (\sigmaij})={\frac {{\bar {\sigma }}_{ij}{\bar {\sigma}}_{ij}}{2}}-{\ frac {\sigma y}^{2}}{3}}\leq 0,\qquad {\bar {\sigma}}_{ij}=\left(\sigmaij}-{\frac { 1 {3} ? kk ? ij ? right)$

( 2d ) ${\hat {\sigma }}_{ij}={\bar {\sigma}}_{ij}+{\bar {\sigma}}_{ik}\omegakj}+{\ bar {\sigma }}_{jk}\omega ki},\qquad {\hat {\sigma }}={\frac {3}{2}}{\hat {\sigma}}_{ij} {\ hatt {\sigma }}_{ij}$

Tilleggsligningene for tidsutviklingen av flytegrense og plastisk tøyning er:

( 2e ) ${\begin{cases}{\dot {\varepsilon }}_{ij}^{p}={\cfrac {1}{2G}}\left(-{\cfrac {{\dot {\sigma }}_{y}{\hat {\sigma }}}{\sigmay}^{2}}}+{\cfrac {\dot {\hat {\sigma }}}{\sigmay }}}\right){\bar {\sigma }}_{ij}\\{\dot {\varepsilon }}^{p}=\left({\frac {2}{3}}\varepsilon ij}\varepsilonij}\right)^{\frac {1}{2}}&\varepsilonp(0)=0\\{\dot {\sigma }}_{y}=E_ {p}{\dot { \varepsilon }}_{p}&\sigmayu}(0)=0\end{cases}}$

Der det første øyeblikket er tatt før plastifiseringen dukket opp.

Denne modellen er en elasto-plastmodell med kinematisk herding, når flytegrensen for materialet har passert. Forholdet mellom spenninger og tøyninger er gitt ved et elastisk bidrag pluss et plastisk bidrag. I det isotropiske tilfellet tas flyteoverflaten som lokus : [ 1 ]

( 2f ) $\phi ={\frac {\sigmay}}{3}}-{\frac {{\bar {\sigma }}_{ij}-\alphaij}}{2}} =0,\qquad \sigmay}=\left[1+\left({\frac {{\dot {\varepsilon }}_{ij}{\dot {\varepsilon}}_{ij}}{ C^{2}}}\right)^{\frac {1}{2p}}\right](\sigma0+\beta E_{p}\varepsilon eff}^{p})$

Hvor:
$\sigmay}\,$ kalles flytespenning. $\sigma{0}\,$ , er en parameter som definerer flyteoverflaten , når spenningene faller utenfor flyteflaten, akkumuleres mer plastisk deformasjon. ${\bar {\sigma }}_{ij}=\sigmaij}-(\sigmakk}/3)\deltaij}\,$ , er komponentene i den avledende delen av spenningstensoren . $\alpha ij}\,$ er samrotasjonstøyningshastigheten som kan oppnås fra tidsderiverten til tøyningstensoren ved:
${\dot {\alpha }}_{ij}={\frac {2}{3}}(1-\beta )E_{p}{\dot {\varepsilon }}_{ij}^{ p}+αik}\omegakj+αjk\omegaki,\qquad εeff}^{p}=\int0}^{ t}\left({\frac {2}{3}}{\dot {\varepsilon}}_ {ij}^{p}{\dot {\varepsilon }}_{ij}^{p}\right) \frac {1}{2}}\ dt,\qquad \omegaij}={\frac {1} {2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right )$

Den isotropiske versjonen av denne modellen inneholder 7 materialkonstanter: to elastiske konstanter , to plastisitetsparametere , to viskoelastiske parametere og herdingsparameteren . $E,\nu \,$ $E_{p},\sigma{0}\,$ $C,p\,$ $\beta \,$

J 2 plastisitetsmodell med herding

Dette er en isotrop elasto-plastmodell uten viskositet som generaliserer J 2 - modellen uten herding . I denne modellen erstattes evolusjonsligningene til den plastiske tøyningstensoren med mer kompliserte, og følgende interne variabler legges til . Den plastiske deformasjonen utvikler seg i henhold til ligningen: ${\boldsymbol {\xi }}=(\alpha ,\beta ij})$

( 2g ) ${\dot {\varepsilon }}_{ij}^{p}=\gamma {\frac {{\hat {\sigma }}_{ij}}{\sqrt {{\hat {\sigma } }_{kl}{\hat {\sigma }}_{kl}}}}={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\dot {\alpha }}{\frac {{\hat {\sigma }}_{ij}}{\sqrt {{\hat {\sigma }}_{kl}{\hat {\sigma }}_{kl}}}},\qquad \phi (\sigma _ {ij},\alpha )={\sqrt {{\bar {\sigma }}_{ij}{\bar {\sigma }}_{ij}}}-{\sqrt {\frac {2}{3 }}}K(\alpha )\leq 0$

Hvor:

{\hat {\sigma }}_{ij}={\bar {\sigma }}_{ij}-\beta ij}

, er den korrigerte deviatorspenningstensoren.

{\bar {\sigma }}_{ij}={\sigma }_{ij}-(\sigma​​kk}\delta​​ij)/3

, er den avvikende stresstensoren.

\sigma​y}=K(\alpha )\,

, er en skalarfunksjon som regulerer herding.

Mens evolusjonsligningene til de interne variablene er gitt av:

{\dot {\beta }}_{ij}={\frac {2\gamma }{3}}H(\alpha ){\frac {{\hat {\sigma}}_{ij}} {\sqrt {{\hat {\sigma }}_{kl}{\hat {\sigma}}_{kl}}}}={\sqrt {\frac {2}{3}}}H(\alpha ){\dot {\alpha }}{\frac {{\hat {\sigma }}_{ij}}{\sqrt {{\hat {\sigma }}_{kl}{\hat {\sigma }} kl}}}

{\dot {\alpha }}=\left({\frac {\langle {\hat {\sigma }}_{kl}{\dot {\varepsilon }}_{kl}\rangle }{1 +{\frac {H(\alpha )+K(\alpha )}{3\mu }}}}\right){\sqrt {\frac {2}{3}}}

Plastisitet i metaller

I metaller ser plastisitet ofte ut til å være relatert til forskyvning av dislokasjoner i materialet. Metaller består vanligvis av krystaller med rimelig godt justerte plan innenfor hver krystall, selv om det alltid er noen dislokasjoner og ufullstendige atomplan. Fra en viss spenningsverdi gjennomgår disse dislokasjonene forskyvninger, som utgjør irreversible transformasjoner som absorberer energi og hvis tilhørende deformasjoner ikke gjenvinnes når spenningen forsvinner.

Plastberegning i metallisk struktur

Plastberegning refererer til beregning av spenninger , tøyninger og tøyninger i konstruksjonsteknikk av elementer som har plastisk oppførsel. I motsetning til mekanismer som må fungere reversibelt, kan statiske strukturer utformes for å fungere over det elastiske domenet, og dermed oppnå en mer fullstendig bruk av deres motstandsevne . Dette skyldes det faktum at når det elastiske reversibilitetsdomenet er overskredet, fortsetter noen konstruksjonsmaterialer å ha kapasitet til å motstå større påkjenninger, på grunn av kinematisk herding, selv på bekostning av å gjennomgå irreversible indre transformasjoner.

I metalliske strukturer består plastberegningen i utgangspunktet av å identifisere utseendepunktene til plasthengsler eller plastifiseringsområder som, når de er fullstendig plastifisert, blir skjøter , kalt "plastifiseringshengsler". For å finne ut for hvilken verdi av lasten et plasthengsel er dannet, er strukturen representert av en lineær elastisk struktur hvor alle de allerede dannede mykgjørende hengslene er erstattet av hengsler. Utseendet til plastifiseringshengsler reduserer graden av hyperstatisitet ved å utvide antallet frihetsgrader . Når et tilstrekkelig antall plasthengsler vises, blir strukturen en mekanisme , og dens konfigurasjon gir sammenbruddsmekanismen til strukturen. Plastberegning er spesielt nyttig i hyperstatiske strukturer med redundante koblingsforhold. Plastberegningen inkluderer identifisering av kollapsmodusene på grunn av dannelsen av plasthengsler, og belastningen som er nødvendig for plastisering av alle hengslene. Den endelige plastlasten er verdien som strukturen omdannes til en mekanisme fra ved plastifisering av det siste hengslet.

I en konstruksjon med en enkelt kvasi-statisk påført belastning, er det første ettergivende hengslet komplett når maksimalt moment er lik det plastiske momentet. For å beregne det, vurderes en vilkårlig prøvelast påført på samme punkt som den opprinnelige lasten, og bøyemomentene beregnes på alle punkter som en funksjon av lasten , deretter beregnes formasjonslasten til det første lageret PR , 1 ganske enkelt Hva: $\scriptstyle {\tilde {P}}$ $\scriptstyle {\tilde {M}}_{1}(x,{\tilde {P}})$

$P_{R,1}={\tilde {P}}{\frac {M_{p}}{\maxx}{\tilde {M}}_{1}(x,{\tilde {P}})}}={\tilde {P}}{\frac {W_{p}\sigmap}}{{\tilde {M}}_{max}(x,{\tilde {P }})}}$

Hvor:

M_{p},W_{p},\sigma{p}\,

, er henholdsvis det plastiske momentet, det plastiske motstandsmomentet og flytespenningen .

Når det første hengslet er identifisert, beregnes en struktur som den opprinnelige, men hvor dannelsespunktet til det ettergivende hengslet er erstattet av en artikulasjon, vurderes en ny testlast, det ses på hvilket annet punkt gir nå det maksimale momentet og bestemmer hvilken belastning som er nødvendig for det nye punktet, tatt i betraktning det totale bøyemomentet som det allerede hadde i forrige fase, slik at momentet tilsvarer det plastiske momentet:

$P_{R,i+1}={\tilde {P}}{\frac {\Delta M_{i+1}}{\maxx}{\tilde {M}}_{i+ 1 }(x,{\tilde {P}})}}={\frac {\tilde {P}}{{\tilde {M}}_{max}(x,{\tilde {P}})} } \left(M_{p}-\sum j=0}^{i}{\tilde {M}}_{j}(x_{R,i+1},P_{R,j})\ høyre)$

Prosedyren ovenfor kan generaliseres til tilfellet med flere belastninger P 1 , ..., P n som øker kvasi-statisk på en uniparametrisk måte P i = Pi ( λ ). I det mest generelle tilfellet hvor hver last varierer uavhengig, vil slutttilstanden avhenge av hvilke laster som øker raskere, så den endelige styrken i plastregimet kan bare bestemmes hvis variasjonen av alle laster over tid er spesifisert: P i = Pi ( t ) .

Plastberegning i armert betong

Også ved beregning av armerte betongkonstruksjoner innrømmes det at stålstengene som utsettes for trekkraft får plastiske deformasjoner, siden stålet har en plastisk oppførsel med herding, og når det overskrider sin elastiske grense, herder det, og tåler høyere påkjenninger enn før de får plastiske deformasjoner. Denne herdingen eller økningen i stålets strekkfasthet tillater besparelser og konstruksjon av strukturer med en mindre mengde stål.

Plastisiteten til jordsmonn

For enkelte våtmarker er plastisitet egenskapen som gjør at de kan støpes ved å påføre ytre krefter, og opprettholde de ervervede formene, selv når fuktigheten og ytre krefter forsvinner. I følge Atterberg [ 2 ] kan to plastisitetsgrenser defineres, [ 3 ] maksimum og minimum. Med en fuktighetsprosent over maksimal plastisitetsgrense blir jordmassen flytende og mister evnen til å opprettholde formen, og dersom jorda har en fuktighetsprosent under minimumsplastisitetsgrensen blir jordmassen sprø, og kan ikke støpes. [ 4 ] Det er tydelig at ikke all jord har samme plastisitet; sand og silt har lav eller svært lav plastisitet, mens jord med høyt leireinnhold har høyere plastisitet. Generelt kan det slås fast at jord med et leireinnhold under 15 % ikke er plastisk. [ 5 ]

For hver av plastisitetsgrensene, maksimum og minimum, tilsvarer det, avhengig av terrenget, en fuktighetsprosent, differansen mellom de to prosentene av fuktighetsgrensene kalt tall eller plastisitetsindeks . Både plastisitetsgrensene og tilsvarende plastisitetstall eller plastisitetsindeks varierer, åpenbart fra terreng til terreng, hovedsakelig avhengig av teksturen og mer presist innholdet av uorganiske kolloider .

En annen viktig faktor som påvirker plastisiteten er typen kationer som er tilgjengelig. [ 6 ] Generelt sett reduserer K+ -ionet både plastisitetsgrensene og plastisitetsindeksen, mens Na+ -ionet reduserer plastisitetsgrensene, men øker plastisitetsindeksen; Mg++ og Ca++ kationer øker plastisiteten, men jordsmonn som er mettet med dem krever en høy mengde vann for å nå plastisitetstilstanden, i motsetning til de som er mettet med K+ kationer . Hydratiserings- og dispersjonseffekten av Na+ bestemmer en større plastisitet av jordsmonn som er mettet med dette kationet enn det som oppnås av jordsmonn mettet med bivalente kationer.

Generelt varierer påvirkningen av de forskjellige kationene på plastisiteten med kvaliteten og naturen til leiren.

Det organiske materialet som finnes i jorda har også en viktig effekt på jordas plastisitet. [ 7 ] Generelt har de øvre lagene i jorda en større plastisitet enn de dypere lagene. Dette kan tilskrives den større tilstedeværelsen av organisk materiale i de øvre lagene av bakken.

Se også

elastoplastisk problem

Referanser

↑ Krieg, RD og Key, SW, Implementering av en tidsavhengig plastisitetsteori i strukturelle dataprogrammer. I: Stricklin, JA, Saczalski, KJ (Red.), Constitutive Equations in Viscoplasticity: Computational and Engineering Aspects, AMD-20, ASEM, New York. s. 125-137.
↑ Se også: Atterberg grenser
↑ T.William Lambe, Soil Mechanics. Trykt i Mexico, 1997. ISBN 968-18-1894-6
↑ Constantine Constantinidis. Bonifica ed vanning. Edagricole, Bologna, 1970
^ C. Constantinidis. 1970. s.186-187.
↑ Baver, LD - 1928. Forholdet mellom utskiftbare kationer og de fysiske egenskapene til jordsmonn. J.Am.Soc.Agron., 20:921-941.
↑ Baver, LD - 1930. Effekten av organisk materiale på flere fysiske egenskaper til jord. J.Am.Soc.Agron., 22:703-708.