Høyeste og laveste element

I matematikk , gitt en delmengde av et delvis ordnet sett , er det høyeste av , hvis det eksisterer, det minste elementet av som er større enn eller lik hvert element i . Med andre ord er det minimum av de øvre grensene for . Toppen av et sett er vanligvis betegnet som . $ja$ $\left(P,<\right)$ $ja$ $P$ $ja$ $ja$ $ja$ $\sup S$

Definisjoner

La være en ikke-tom delmengde av . $T$ $\mathbb{R}$

Hvis er begrenset ovenfor, så sies en øvre grense å være en supremum - eller en minst øvre grense - av hvis den er mindre enn noen øvre grense for . I et slikt tilfelle er den øvre grensen angitt . $T$ $T$ $T$ $\sup T$
Hvis er avgrenset av nedenfra, så sies en nedre grense å være et infimum - eller en maksimal nedre grense - for hvis den er større enn en hvilken som helst nedre grense for . I et slikt tilfelle er den nedre grensen angitt [ 1 ] $T$ $T$ $T$ $\inf T.$

Egenskaper

I feltet med reelle tall har hver ikke-tom delmengde, avgrenset ovenfor, et supremum, inneholdt eller ikke innenfor delmengden.

$s$ er supremum av den ikke-tomme delmengden av settet med reelle tall hvis det er den øvre grensen av og hvis, og bare hvis for alle eksisterer i slik at . $T$ $\mathbb{R}$ $T$ $\epsilon > 0$ $s_{\varepsilon }$ $T$ $s-\varepsilon <s_{\varepsilon }$

$r$ er infimum av den ikke-tomme delmengden av settet med reelle tall hvis det er den nedre grensen av og hvis, og bare hvis for alle eksisterer i slik at . $T$ $\mathbb{R}$ $T$ $\varepsilon >0$ $r_{\varepsilon }$ $T$ $r+\varepsilon >r_{\varepsilon }$

La være en avgrenset delmengde av reelle tall og en ikke-tom delmengde av . Det er oppfylt [ 2 ] $L$ $K$ $L$ $\inf L\leq \inf K\leq \sup K\leq \sup L$

Hvis det øverste (minste) eksisterer, så er det unikt
$\sup(A\kopp B)=\max\{\sup(A),\sup(B)\}$ , hvis slike suverene eksisterer
$\inf(A\kopp B)=\min\{\inf(A),\inf(B)\}$ , hvis slike minis finnes
Et sett har et maksimum ( minimum ) hvis og bare hvis supremum (minst) er et element i det settet.

Eksempler

$\sup\{1,2,3\}=3\,$
$\inf\{1,2,3\}=1\,$
$\sup\{x\in \mathbb {R} |0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} |0\leq x\leq 1\}=1\,$
$\inf\{x\in \mathbb {R} |0<x<1\}=\inf\{x\in \mathbb {R} |0\leq x\leq 1\}=0\,$

$\sup\{x\in \mathbb {Q^{+}} |x^{2}\leq 2\}={\sqrt {2}}\,$
$\inf\{x\in \mathbb {Q^{+}} |x^{2}<2\}=0\,$
$\sup \left\{(-1)^{n}-{\frac {1}{n}}|n\in \mathbb {N} \right\}=1\,$
$\inf \left\{{\frac {1}{n}}|n\in \mathbb {N} \right\}=0\,$

Se også

avgrenset

høyeste og laveste element

Referanser

↑ Bartle-Sherbert. Introduksjon til matematisk analyse av en variabel . ISBN 968-18-1725-7
↑ Rodriguez og andre. differensial- og integralregning . Del I

Referanselitteratur

Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, tredje utgave , McGraw-Hill, 1976.
Supreme (på PlanetMath.org )
Weisstein, Eric W. «Supreme funksjon» . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch .