Logisk opposisjon

I logikk er logisk motsetning en lov som sier at for hvert betinget utsagn er det en logisk ekvivalens mellom den og dens motsetning . I motsetningen til en setning blir antecedenten og konsekvensen invertert og negert: motsetningen til er derfor . Begge uttrykkene er likeverdige. Formalisert i syllogismene av Aristoteles , er det slått fast at negasjonen av en konsekvens innebærer negasjonen av dens antecedent. Det vil si at hvis en første premiss innebærer en andre premiss, kan vi konkludere med at negasjonen av den andre premissen innebærer negasjonen av den andre premissen. $P\rightarrow Q$ $\neg Q\rightarrow \neg P$ første premiss. Følgelig er den opprinnelige implikasjonen og dens kontrapositive ekvivalente.

For eksempel kan påstanden " Alle hunder er pattedyr" skrives om i sin betingede form " Hvis det er en hund, er det et pattedyr. " Loven sier at denne setningen er identisk med motsetningen " Hvis det ikke er et pattedyr, så kan det ikke vær en hund. "

Merk at hvis er sant og vi blir informert om at Q er usann, det vil si at vi logisk kan slutte at P må være usann, det vil si . Dette kalles vanligvis kontraposisjonsloven , eller modus tollendo tollens slutningsregel. $P\rightarrow Q$ $\neg Q$ $\neg P$

Sammenligning med andre betingelser

Gitt en original uttalelse, er det mulig å få alle dens betingede former.

Implikasjon (den opprinnelige uttalelsen ): . "Hvis det er en hund, er det et pattedyr", i dette tilfellet, et sant utsagn. $P\rightarrow Q$
Kontraposisjon ( kontrapositivet ): . «Hvis det ikke er et pattedyr, er det ikke en hund», som har samme sannhetsverdi som den opprinnelige setningen. $\neg Q\rightarrow \neg P$
Investering ( omvendt ):. " Hvis det ikke er en hund, så er det ikke et pattedyr ." I motsetning til kontrapositivet,avhenger ikke sannhetsverdien til inversen av sannhetsverdien til den opprinnelige uttalelsen. Det motsatte, her, er tydeligvis ikke sant. $\neg P\rightarrow \neg Q$

Konvertering (den gjensidige ):. " Hvis det er et pattedyr, så er det en hund ." Det motsatte er det motsatte av det omvendte. Derfor er de likeverdige i sannhetsverdi . Dette omvendte er, som det omvendte, falskt. $Q\rightarrow P$

Fornektelse :._ " Det er en hund som ikke er et pattedyr ." Hvis negasjonen er sann, er den opprinnelige proposisjonen (og følgelig detkontrapositive) falsk. I eksemplet som vises, er negasjonen tydelig falsk. $P\rightarrow \neg Q$ $\neg (P\høyrepil Q)$

Sammendrag

Navn	form	beskrivelse
implikasjon	Hvis P, så Q	Den første proposisjonen innebærer sannheten til den andre.
motarbeidet	Hvis ikke Q, så ikke P	snu rekkefølgen og avslå forslagene
omvendt	Hvis ikke P, så ikke Q	negasjon av begge forslagene
gjensidig	Hvis Q, så P	snu rekkefølgen på forslagene
benektelse	P og ikke Q	tilbakevise den opprinnelige implikasjonen

Intuitiv forklaring

Tenk på Venn-diagrammet til høyre. Det er klart at hvis noe er i A, må det også være i B. Vi kan skrive om "All A er i B", som

A\to B

Det er også klart at alt som ikke er i B ikke også kan være i A. Det utsagnet,

\neg B\to \neg A

er det kontrapositive. Dermed kan vi si det

(A\til B)\to (\neg B\til \neg A)

I praksis kan dette gjøre det ganske enkelt når man prøver å bevise noe. Hvis vi for eksempel ønsker å bevise at alle jentene i Sverige ( ) er blonde ( ), kan vi prøve å bevise det ved å sjekke hver av jentene i Sverige for å se om de alle er blonde. Eller, alternativt, kan vi prøve å bevise at alle ikke - blonde jenter er utenfor Sverige. Hvis vi finner minst én ikke -blond jente i Sverige, har vi motbevist , og ved ekvivalens har vi også tilbakevist . $EN$ $B.$ $(A\to B)$ $(\neg B\til \neg A)$ $(\neg B\til \neg A)$ $(A\to B)$

Denne logiske loven kan brukes som en avledningsregel i premisslinjen og kan defineres som den logiske formelen:

$(A\rightarrow B)\leftrightarrow (\lnot B\rightarrow \lnot A)$

For eksempel følgende implikasjon

$(A\rightarrow B)$ Det regner, så jeg venter på deg inne i teatret.

tilsvarer det motsatte

$(\lnot B\rightarrow \lnot A)$ Jeg venter ikke på deg inne i teatret, så det regner ikke .

Kontrapositivet er en alternativ artikulering av proposisjonell logikks modus tollendo tollens .

Kort sagt, for ethvert utsagn som A innebærer B, så betyr ikke B alltid at det ikke er A. Å bevise eller motbevise noen av påstandene beviser eller motbeviser automatisk den andre. De er helt likeverdige. Faktisk, hvis vi analyserer tabellen over sannhetsverdier :

EN	B.	( A → B )	↔	( ¬B → ¬A )
v	v	v	v	v
v	F	F	v	F
F	v	v	v	v
F	F	v	v	v

Denne ekvivalensen er klar, siden en tautologi oppnås . [ referanse nødvendig ]

Beviset for denne loven som regneregel gjøres ved å bruke regelen "Introduksjon av negator", "Absurd" eller "Indirekte bevis" (forskjellige navn for samme regel), hvorfra "motpart"-regelen, også kalt for "kontraposisjon" eller "transposisjon" er avledet.

Bruk av reglene for naturlig deduksjonskalkulus :

--1	$A\Rightarrow B$
┌--- 2	$\lnot B$	Foreløpig scenario 1
│┌-- 3	$\A$	Foreløpig scenario 2
││ 4	$B$	Modus Ponens, 1-3
│└-- 5	$B\land \likke B$	Produkt 4-2; Kanselleringsforutsetning 2
└--- 6	$\lnot A$	absurd, 3-5; Avbestillingskurs 1
7	$\lnot B\rightarrow \lnot A$	Deduksjonsteori, 2-6

Grunnlaget for bare én av de fire mulige modalitetene er eksponert her, siden de alle følger de samme trinnene med de samme mønstrene, og starter naturlig fra endringen av den opprinnelige premissen: [ 1 ]

$A\rightarrow \lnot B\vdash B\rightarrow \lnot A$

$\lnot A\rightarrow B\vdash \lnot B\rightarrow A$

$\lnot A\rightarrow \lnot B\vdash B\rightarrow A$

Når loven er begrunnet i alle mulige tilfeller, kan vi etablere, som likeverdige formler, en erstatningsregel på følgende måte:

Transponering

linje n	(A→B)		kjedeformel
	=============	Dobbel lukkelinje [ 2 ]
	(¬B → ¬A)		Transponering. , linjenr.	konklusjon

Formell definisjon

Utsagn Q er implisitt i utsagn P når følgende relasjon er sann:

(P\to Q)

I dagligtale betyr dette "hvis P , så Q ", eller, "hvis Sokrates er mann , så er Sokrates menneske ." I en betinget slik er P antecedenten , og Q er den konsekvente . En setning er kontrapositiv til en annen bare når dens antecedent er negasjonen av konsekvensen av den andre, og omvendt. Det motsatte av eksemplet er

(\neg Q\til \neg P)

Det vil si "Hvis ikke Q , så ikke P ", eller mer presist "Hvis Q ikke er tilfelle, så er ikke P tilfelle." Ved å bruke vårt eksempel, "Hvis Sokrates ikke er menneske , så er ikke Sokrates en mann ." Denne uttalelsen sies å være i opposisjon til originalen, og de to er logisk likeverdige. På grunn av logisk ekvivalens, hevder det ene automatisk det andre: når det ene er sant, er det andre også. Det samme gjelder usannhet.

Strengt tatt kan opposisjonen bare eksistere i to enkle vilkår. Imidlertid kan opposisjonen også eksistere i to komplekse betingelser, hvis de er like. Derfor har , eller "Alle P -er er Q -er," en kontrapositiv av , eller "Hver ikke- Q er ikke P ." $\for alle {x}(P{x}\to Q{x})$ $\forall {x}(\neg Q{x}\til \neg P{x})$

Bevis med kontrapositiv

I logikk dannes motsetningen til et betinget utsagn ved å negere begge begrepene og snu retningen til slutningen. Eksplisitt er kontrapositiven til utsagnet 'hvis A, så B' 'hvis ikke B, så ikke A'. Et utsagn og dets kontrapositive er logisk likeverdige: hvis utsagnet er sant, så er dets kontrapositive sann, og omvendt. [ 3 ]

Hvis vi må vise at en setning p innebærer en setning q (det vil si at hvis p holder, så må q holde ), er det noen ganger lettere å vise at hvis q ikke holder , så kan ikke p holde . Dette er kjent som bevis ved kontrapositiv eller kontrapositiv . Legg merke til at " p innebærer q " og "ikke q innebærer ikke p " er ekvivalente proposisjoner.

I matematikk er bevis ved opposisjon en slutningsregel som brukes i bevis . Denne regelen utleder en betinget uttalelse fra dens motstand. [ 4 ] Med andre ord følger konklusjonen «hvis A, så B» av det enkle premisset «hvis ikke B, så ikke A».

Ethvert bevis ved motsigelse kan også trivielt oppgis i form av et bevis ved motsigelse : For å bevise påstanden , anser vi det omvendte, . Siden vi har et bevis på at , har vi det som kommer frem til den tiltenkte motsigelsen. Så bevis ved motsetning er på en måte «minst like vanskelig å formulere» som bevis ved motsetning. $P\Rightarrow Q$ $\lnot (P\Rightarrow Q)\equiv \lnot (\lnot P\vee Q)\equiv P\wedge \lnot Q$ $\lnot Q\Rightarrow \lnot P$ $P\wedge \lnot Q\Rightarrow P\wedge \lnot P\equiv \bot$

Eksempel

Et enkelt eksempel: " Bevis at alle primtall større enn 2 er oddetall ". Her,

$s$ : " n er et primtall større enn 2" : " n er et oddetall". $q$

Forestilling

$p\Rightarrow q$ : "hvis et primtall er større enn 2, så er det oddetall"

er det samme som å bevise det

$\lnot q\Rightarrow \lnot p$ : "hvis et heltall er partall (dvs. ikke oddetall), så er det ikke et primtall eller det er mindre enn eller lik 2."

Fordelen er at dette er lettere å bevise, siden hvert partall kan skrives som n = 2 × k , hvor k er et heltall. Hvis k er mindre enn eller lik 1, er n mindre enn eller lik 2 (andre del av ), så vi kan anta at k er større enn 1. I denne antakelsen er n større enn 2, men det er ikke et primtall. siden den har en eller annen faktor som verken er 1 eller seg selv, nemlig k . Så 2 er det eneste partallsprimtallet, så alle primtall større enn 2 har vist seg å være oddetall. $\lnot p$

Eksempel

La x være et heltall.

For å bevise: Hvis x ² er partall, så er x partall.

Selv om det kan gis et direkte bevis , velger vi å bevise denne påstanden med kontraposisjon. Det motsatte av utsagnet ovenfor er:

Hvis x ikke er partall, er x² ikke partall.

Dette siste utsagnet kan bevises som følger. Anta at x ikke er jevnt. Så x er merkelig. Produktet av to oddetall er oddetall, derfor er x ² = x · x oddetall. Derfor er ikke x ² jevn.

Etter å ha bevist motsetningen, konkluderer vi med den opprinnelige uttalelsen. [ 5 ]

Enkel test med definisjonen av betinget

I førsteordens logikk er en betinget setning definert som:

A\to B\iff \neg A\eller B

Det har:

\neg A\lor B\iff \neg A\lor (\neg \neg B)

\iff \neg (\neg B)\eller \neg A

\iff \neg B\til \neg A

Enkelt bevis ved selvmotsigelse

Være:

(A\to B)\land \neg B

Det er som om A er sann, så er B sann, og også B er usann. Så vi kan da vise at A ikke må være sann, ved selvmotsigelse. For eksempel, hvis A var sann, så måtte B også være sann (gitt). Vi er imidlertid gitt at B ikke er sann, så vi har en motsetning. Da er ikke A sann (forutsatt at vi har å gjøre med konkrete utsagn som bare kan være sanne eller usanne ( loven om det ekskluderte midten )):

(A\til B)\to (\neg B\til \neg A)

Vi kan bruke den samme prosessen i motsatt retning:

Vi vet også at B o er sann eller usann. Hvis B er usann, så er A også usann. A er imidlertid gitt å være sann. Dermed fører antakelsen om at B er falsk til en selvmotsigelse, derfor må den være falsk. Derfor må B være sann:

(\neg B\til \neg A)\til (A\til B)

Ved å kombinere de to argumentene kommer vi til ekvivalens:

(A\til B)\iff (\neg B\til \neg A)

Mer strenge bevis på ekvivalensen av kontrapositiver

Logisk ekvivalens mellom to påstander betyr at de begge er samtidig sanne eller samtidig usanne. For å bevise at en påstand og dens kontrapositive er logisk likeverdige, må du forstå når en implikasjon er sann eller usann.

(P\to Q)

Denne påstanden er usann bare når P er sann og Q er usann. Dermed kan vi redusere dette utsagnet til utsagnet "Usant når P og ikke Q " (det vil si "Sant når P ikke er tilfelle og ikke Q "):

\neg (P\land \neg Q)

Elementene i en logisk konjunksjon kan reverseres uten å endre betydningen av setningen (ved kommutativitet ):

\neg (\neg Q\land P)

Det er definert som lik " ", og lik , (også bare lik ): $R$ $\neg Q$ $ja$ $\neg P$ $\neg S$ $P$

\neg (R\land \neg S)

Denne setningen leses som "Det er ikke sant at (R er sant og S er usant)," som er definisjonen av en betinget. Da kan vi utføre følgende erstatning:

(R\to S)

Når definisjonene av R og S byttes om, kommer vi til:

(\neg Q\til \neg P)

Sannhet

Selv om sannhetsverdien til utsagn kan variere, er sannhetsverdien til ekvivalente uttrykk alltid den samme.

Betinget	sannhet-verdi ekvivalens
implikasjon og kontrapositiv	Hvis en påstand er sann, er dens kontrapositive sann (og omvendt). Hvis en påstand er usann, er dens kontrapositive falsk (og omvendt).
Omvendt og gjensidig	Hvis det motsatte av et utsagn er sant, er det motsatte sant (og omvendt). Hvis det motsatte av et utsagn er usant, er det motsatte falskt (og omvendt).
Benektelse	Hvis negasjonen av en påstand er sann, så er påstanden usann (og omvendt). Hvis negasjonen av et utsagn er usant, er utsagnet sant (og omvendt)
bibetinget	Hvis et utsagn (eller dets kontrapositive) og det omvendte (eller dets motsatte) begge er sanne eller begge usanne, kan det kalles en logisk bibetinget .

Ytterligere eksempler

Tenk på utsagnet "Hvert rødt objekt har farge." Det kan ekvivalent uttrykkes som "Hvis en gjenstand er rød, har den farge".

Kontrapositivet er " Hvis et objekt ikke har noen farge, så er det ikke rødt. " Dette er en logisk konsekvens av vårt første utsagn og, som originalen, er det åpenbart sant.
Det motsatte er " Hvis et objekt ikke er rødt, har det ingen farge. " Nok en gang, et objekt som er blått i fargen er ikke rødt, og likevel har det fortsatt farge. Derfor, i dette tilfellet, gjør inversjonen utsagnet falsk.
Det motsatte er " Hvis et objekt har farge, så er det rødt. " Objekter har andre farger, så det motsatte av utsagnet vårt er usant.
Negasjonen er "Er det noe rødt objekt som ikke har noen fargeegenskap" . Hvis det var sant, så burde både det motsatte og det motsatte være sant i akkurat dette tilfellet der rødt ikke er en farge. Men på jorden er denne uttalelsen fullstendig falsk.

Med andre ord er kontrapositivet logisk ekvivalent med en gitt betinget, selv om det ikke er gyldig for bibetingede ('hvis og bare hvis').

På samme måte kan du vurdere utsagnet " Hver firkant har fire sider ", eller, uttrykt tilsvarende: " Hvis en polygon er en firkant, har den fire sider. "

Kontrapositivet er "Hvis en polygon ikke har fire sider, så er den ikke en firkant." Som loven sier, deler kontrapositivet sannhetsverdien til det opprinnelige betingede.
Det motsatte er "Hvis en polygon ikke er en firkant, så har den ikke fire sider." I dette tilfellet, i motsetning til dette siste eksempelet, er det omvendte sant.
Det motsatte er "Hvis en polygon har fire sider, så er den en firkant." Igjen, i dette tilfellet, i motsetning til det forrige eksemplet, er det motsatte sant.
Negasjonen er "Det er minst en firkant som ikke har fire sider." Denne setningen er åpenbart falsk.

Siden utsagnet og det motsatte begge er sanne, kalles dette utsagnet en bibetinget , og kan uttrykkes som " En polygon er en firkant hvis og bare hvis den har fire sider. " (Hvis og bare hvis-setningen kan forkortes som IFF .) Dette er å ha fire sider til å være en firkant og også nok til at en polygon er en firkant.

Søknad

Siden kontrapositiven til et utsagn alltid har samme sannhetsverdi (sant eller usant) som utsagnet, kan det være ganske nyttig verktøy for å bevise matematiske teoremer. Et bevis ved motsigelse er et direkte bevis på kontrapositiven til en påstand. [ 6 ]

Imidlertid kan indirekte metoder også brukes kontraposisjonelt, slik som bevis ved motsigelse, for eksempel i irrasjonalitetsbeviset av kvadratroten av 2 . Ved definisjonen av et rasjonelt tall kan vi si at "Hvis det er rasjonelt, så kan det uttrykkes med en irreduserbar brøk." Denne setningen er sann , som en måte å omskrive den (sanne) definisjonen på. Kontrapositivet til dette utsagnet er " Hvis det ikke kan uttrykkes med en irreduserbar brøk, så er det ikke rasjonelt. " Dette kontrapositivet, så vel som det opprinnelige utsagnet, er også sant . Derfor kan det vises at det ikke kan uttrykkes som en irreduserbar brøk, så det må være sant at det ikke er et rasjonelt tall. Det siste kan bevises ved selvmotsigelse. ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$

Eksemplet ovenfor bruker kontrapositiven til en definisjon for å bevise et teorem. Et teorem som beviser kontrapositiven til teoremutsagnet kan også bevises. For å bevise at hvis et positivt heltall N er et ikke-kvadratnummer , så er kvadratroten irrasjonell, vi kan ikke bevise den positive ekvivalenten versus at hvis et positivt heltall N har en kvadratrot, at det er rasjonelt, så er N en kvadrat nummer . Dette kan vises ved å sette √N lik det rasjonelle uttrykket a/b der a og b er positive heltall uten felles primfaktorer, kvadratur for å oppnå N = a 2 / b 2 og merk at når N lar b =1 være et positivt heltall slik at N = a 2 , et kvadrattall.

Se også

Referanse

↑ opp cit. s. 107
↑ Den doble linjen betyr ekvivalensen og derfor muligheten for direkte substitusjon av en formel med den andre og omvendt i en hvilken som helst linje i en deduktiv kjede
↑ Regents Exam Prep, definisjon mot positiv (på engelsk)
^ "Larry Cusicks (CSU-Fresno) Hvordan skrive bevisopplæring " .
↑ Franklin, J.; A. Daoud (2011). Bevis i matematikk: en introduksjon . Sydney: Kew Books. ISBN 0-646-54509-4 . (s.50).
^ Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St. Andre, Richard (2001), A Transition to Advanced Mathematics ( 5. utgave), Brooks/Cole, s. 37, ISBN 0-534-38214-2 .

Bibliografi

Mitchell, D (1990). Introduksjon til logikk . Barcelona: Redaksjonelt arbeid.

Ferrater Mora, J. (1979). Ordbok for filosofi . ISBN 84-206-5299-7 .

Eksterne lenker

Dette verket inneholder en fullstendig oversettelse hentet fra « Contraposição » fra Wikipedia på portugisisk, spesifikt fra denne versjonen , utgitt av utgiverne under GNU Free Documentation License og Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License .
Dette verket inneholder en fullstendig oversettelse hentet fra engelsk Wikipedias " Proof by contrapositive ", nærmere bestemt denne versjonen , utgitt av utgiverne under GNU Free Documentation License og Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License .