Etterspørselskurve

Etterspørselskurven er den grafiske representasjonen av det matematiske forholdet mellom den maksimale mengden av en bestemt vare eller tjeneste som en forbruker ville være villig til å kjøpe og prisen. [ 1 ]

Etterspørselskurven, sammen med tilbudskurven , er et av de teoretiske analyseverktøyene som er brukt siden nyklassisistisk økonomi for å forutsi prisfastsettelse. Skjæringspunktet mellom begge kurvene er kjent som likevekten mellom tilbud og etterspørsel.

Introduksjon

Etterspørselskurven er en nyttig konstruksjon for å forutsi den mulige eller sannsynlige effekten av visse økonomiske situasjoner på det hyppige forbruket av varer. Etterspørselskurven omtales ofte som et virkelig eksisterende objekt, selv om det i realiteten er et abstrakt objekt hvis eksistens er avledet fra konkrete matematiske forutsetninger som noen ganger bare er tilnærmet oppfylt. I tillegg er etterspørselskurven og dens egenskaper avhengig av at forbrukere presenterer perfekt rasjonalitet, varer er uendelig delbare og en annen rekke antakelser, som har blitt kritisert. Men selv med begrensningene som de tidligere abstraksjonene kan påføre, er etterspørselskurven en nyttig teoretisk konstruksjon for å forstå den kvalitative oppførselen til markeder, og i mange tilfeller er det en empirisk adekvat beskrivelse.

Fra et matematisk synspunkt er etterspørsels"kurven" til en forbruker eller et marked med n varer eller produkter en hyperoverflate med dimensjon n i rommet . Hvis for en spesifikk situasjon både den disponible inntekten og prisene på n - 1-produkter anses som faste ( ceteris paribus ), kan nevnte hyper-overflate projiseres på for å virkelig konstruere en riktig etterspørselskurve. $\scriptstyle \mathbb {R}++}^{2n+1}$ $\scriptstyle \mathbb {R}++}^{2}$

Etterspørselskurven

Faktorer som bestemmer etterspørselen

Det bør huskes at faktorene som bestemmer etterspørselen etter en vare er prisen, prisen på andre varer, forbrukerens personlige inntekt og også individers preferanser eller smak. Forskyvningene langs etterspørselskurven uttrykker variasjonen i etterspurt mengde på grunn av effekten av pris, forutsatt at de andre faktorene forblir konstante.

For en gitt forbruker, som forbruker n forskjellige varer, vil etterspørselen til denne forbrukeren etter et bestemt produkt P ikke bare avhenge av disponibel inntekt og hans preferanser, men også av prisen på n -1 produktene som utgjør handlekurven hans , bare når ceteris paribus for markedene til de andre n -1 produktene og inntekt vil resultere i en etterspørselskurve for P utelukkende avhengig av prisen på produktet P .

Kurve for prisetterspørsel

Prisetterspørselskurven har normalt en nedadgående bane som viser hvordan forbruket av produktet faller når prisen stiger. Unntaksvis er det noen varer, kalt giffen-varer , der prisetterspørselskurven ikke synker. En Giffen-vare kan bare eksistere i et marked med andre substituerbare varer.

Skift av etterspørselskurven

Når etterspørselskurven skifter til høyre, forklarer det en økning i etterspørselen på grunn av variasjonen av en annen faktor enn pris, og når kurven skifter til venstre, viser dette en nedgang i etterspørselen også på grunn av variasjonen i prisen. annen faktor enn pris.

Forandringer i etterspørselskurven kan være forårsaket av:

Økningen i befolkningen som krever det gode.
Endringer i fremtidige prisutsikter.
Endringer i forbrukernes preferanser.
Økningen i disponibel inntekt for enkelte forbrukere.
Hvis etterspørselen etter en viss vare P vurderes uavhengig av resten, kan endringen i prisen på noen av de andre varene oversettes til en forskyvning av gode P .

Etterspørselskurven og likevekten

For at likevektspunktet mellom tilbud og etterspørsel skal være unikt, er det flere egenskaper som etterspørselskurven må oppfylle :

Avtagende - Krever at priselastisiteten er negativ for hele funksjonens domene.
Kontinuitet - Avhenger av den uendelige delbarheten til det gode.
Differensiabilitet – Avhenger av strukturen til likegyldighetskurvene .
Fullstendige preferanser - Forbrukeren må vite hvilket av følgende som gjelder for ham: X>Y eller X<Y eller X~Y. Han vil antyde at man foretrekker X, eller foretrekker Y, eller ikke bryr seg mellom disse alternativene.
Forbrukerrasjonalitet - Hvis forbrukeren foretrekker X fremfor Y, og foretrekker Y fremfor Z, må han foretrekke X fremfor Z.

Fradrag for en forbrukerkrav

Under visse idealiserte matematiske forutsetninger kan eksistensen av en etterspørsels"kurve" for en rasjonell forbruker vises for hvilken kontinuerlig likegyldighet "kurver" kan defineres. I et marked med n tilgjengelige varer er etterspørsels"kurven" så vel som "kurvene" n - dimensjonale hyperflater , og ikke en kurve som i et marked for en enkelt vare som verken er komplementær eller erstatning for andre varer. Det antas vanligvis at en idealisert rasjonell forbruker på forhånd kjenner den disponible inntekten og planlegger sitt forbruk i løpet av en viss tidsperiode, og velger å konsumere i den et beløp som maksimerer hans "tilfredshet" og samtidig oppfyller budsjettbegrensningen som kostnaden for forbrukte mengder ikke overstiger disponibel inntekt . Matematisk innebærer dette å finne den maksimale nytten ( 1 ) over et bestemt sett (som er settet ( 2 ) som er kompatibelt med budsjettbegrensningen): $\scriptstyle \Sigma$

( 1 ) $\max{(Q_{1},\dots,Q_{n})\in \Sigma }f_{U}(Q_{1},\dots,Q_{n})$

( 2 ) $\Sigma =\{(Q_{1},\dots,Q_{n})\in \mathbb {R}<n}|\ P_{1}Q_{1}+\dots +P_{n } Q_{n}\leq Y\}$

Under visse rimelige forhold på nyttefunksjonen kan det vises at det forrige problemet tillater en unik løsning for et gitt inntektsnivå og et gitt sett med priser, og derfor definerer en funksjon eller "kurve" av etterspørsel. $\scriptstyle f_{U}$

Redigere tegn

I tillegg kan det vises uten å kreve det på forhånd at hvis nyttefunksjonene er differensierbare og konvekse så vil etterspørselsfunksjonen bli oppfylt er "minkende" i pris eller mer nøyaktig det: $\scriptstyle \mathbf {Q} =f_{D}(\mathbf {P} )$

$\left({\frac {\partial Q_{i}}{\partial P_{i}}}\right)_{P_{j}[\neq P_{i}]}\leq 0$

To varer A og B sies å være komplementære når:

$\left({\frac {\partial Q_{B}}{\partial P_{A}}}\right)_{P_{B}}\leq 0$

Mens for varer A og B som er erstatninger , vil det være sant at:

$\left({\frac {\partial Q_{B}}{\partial P_{A}}}\right)_{P_{B}}\geq 0$

Eksistensen av etterspørselskurven

Eksistensen og unikheten til etterspørselskurven under betingelsene ovenfor kan bevises fra det implisitte funksjonsteoremet. For å bevise dette er det nødvendig å stille et problem med betingede ekstremer ved å bruke metoden til Lagrange-multiplikatorer . For dette er hjelpefunksjonen definert:

$\Phi (Q_{1},\dots ,Q_{n};P_{1},\dots ,P_{n};\lambda )=f_{U}(Q_{1},\dots ,Q_ {n})-λ(Y-\sum k P k Q k )$

Den forrige funksjonen har et relativt maksimum når nytten når et maksimum, noe som innebærer at følgende relasjoner mellom marginale nytteverdier gjelder:

${\frac {\partial \Phi }{\partial Q_{i}}}={\frac {\partial f_{U}}{\partial Q_{i}}}-\lambda P_{i}= 0$

Fra de tidligere forholdene kan en av dem fjernes, for eksempel: $\lambda \,$

$\lambda ={\frac {1}{P_{i}}}{\frac {\partial f_{U}}{\partial Q_{i}}}$

Nå definerer vi en funksjon for å anvende den implisitte funksjonsteoremet: ${\mathbf {F}}$

$F_{i}(Q_{1},\dots ,Q_{n};P_{1},\dots ,P_{n}):={\frac {1}{P_{i}}}{ \frac {\partial f_{U}}{\partial Q_{i}}}-{\frac {1}{P_{n}}}{\frac {\partial f_{U}}{\partial Q_{n }}},\quad \forall i\leq n-1$

$F_{n}(Q_{1},\dots ,Q_{n};P_{1},\dots ,P_{n};Y):=Y-\sum{k=1}^{ n }P_{k}Q_{k}$

Det er enkelt å sjekke at hvis verktøyfunksjonen er strengt konveks:

$\mathbf {F} :{\mathbb {R}++}}^{n}\times {\mathbb {R}++}}^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} n},\quad \mathbf {F} (\mathbf {Q} (*);\mathbf {P} ;Y)=\mathbf {0} \ \land \ \det \left ({\frac { \partial F_{i}}{\partial Q_{i}}}\right)\neq 0$

Den implisitte funksjonsteoremet brukt på den forrige funksjonen innebærer at det er en funksjon slik at: $f_{D}\,$

$\mathbf {Q}*}=f_{D}(\mathbf {P} ;Y)$

Funksjonen er nettopp funksjonen som gir etterspørselskurven for prisvektoren og forbrukerens disponible inntekt. $f_{D}(\cdot ,\cdot )$

Helning av etterspørselskurven

Hvis noen grunnleggende antakelser om nyttefunksjonene vurdert ovenfor er inkludert, kan det vises at etterspørselskurven er nedadgående, eller mer nøyaktig enn for noe godt:

${\frac {\partial Q_{i}}{\partial P_{i}}}\leq 0\qquad \forall i$

De forrige ligningene tolkes som at mengdene som etterspørres av en vare må reduseres når prisen øker, og holde alt annet ved like (det vil si opprettholde inntektsnivået og prisen på resten av varene). De forrige størrelsene er nettopp begrepene i den jakobiske matrisen som fungerer som differensialen til funksjonen . Det vil si: $\scriptstyle \mathbf {Q}*}=f_{D}(\mathbf {P} ;Y)$

$D{f_{D}}=D_{\mathbf {P} }\mathbf {Q} ={\begin{bmatrix}{\frac {\partial Q_{1}}{\partial P_{1}} }&{\frac {\partial Q_{1}}{\partial P_{2}}}&\dots &{\frac {\partial Q_{1}}{\partial P_{n}}}\\{\ frac {\partial Q_{2}}{\partial P_{1}}}&{\frac {\partial Q_{2}}{\partial P_{2}}}&\dots &{\frac {\partial Q_ {2}}{\partial P_{n}}}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\{\frac {\partial Q_{n}}{\partial P_{1}}}&{ \frac {\partial Q_{n}}{\partial P_{2}}}&\dots &{\frac {\partial Q_{n}}{\partial P_{n}}}\end{bmatrix}}$

Ved kjederegelen for funksjoner for flere variabler og den implisitte funksjonsteoremet , kan den ovennevnte jakobianske matrisen uttrykkes som et produkt av jakobianske matriser:

( * ) $D{f_{D}}=D_{\mathbf {P} }\mathbf {Q}Â*}=-(D_{\mathbf {Q}Â*}}\mathbf {F} )^ {- 1}D_{\mathbf {P} }\mathbf {F}$

Generelt er det forrige uttrykket veldig komplisert for en helt generell nyttefunksjon. For en separerbar verktøyfunksjon:

$f_{U}(Q_{1},Q_{2},\dots ,Q_{n})=f_{1}(Q_{1})+f_{2}(Q_{2})+\ prikker +f_{n}(Q_{n})=\sum i=1}^{n}f_{i}(Q_{i})$

Uttrykket ( * ), er et lettere kalkulerbart resultat, for eksempel for det første godet:

( ** ) ${\frac {\partial Q_{1}}{\partial P_{1}}}={\frac {1}{P_{1}}}{\frac {f'_{1}(P_{ 2}^{2}f''_{3}\dots f''_{n}+f''_{2}P_{3}^{2}\dots f''_{n}+\dots +f''_{2}\dots f''_{n-1}P_{n}^{2})-P_{1}^{2}Q_{1}(f''_{2}\ prikker f''_{n})}{P_{1}^{2}f''_{2}\dots f''_{n}+f''_{1}P_{2}^{2 }\dots f''_{n}+\dots +f''_{1}\dots f''_{n-1}P_{n}^{2}}}$

Hvis vi innrømmer at marginal nytte er strengt avtagende:

$f''_{i}(Q_{i})\leq 0,\qquad \forall i\in \{1,\dots ,n\}$

Så hvis det er partall, er telleren positiv og nevneren til ( ** ) er positiv og telleren er negativ, hvis den er oddetall, er telleren negativ og nevneren er positiv, og derfor i alle tilfeller under den forrige betingelsen uttrykket viser seg å være negativt, og derfor er det bevist i dette tilfellet at etterspørselskurven har negativ helning. $\scriptstyle n$

Eksempel: Marked for to varer

Denne delen vurderer å anvende teorien fra de foregående delene på et to-varemarked. I dette tilfellet vil verktøyfunksjonen og budsjettbegrensningen bli gitt av:

$U:=F_{U}(Q_{1},Q_{2};Y),\qquad P_{1}Q_{1}+P_{2}Q_{2}=Y$

Den jakobiske matrisen av mengder kontra priser vil bli gitt av:

${\begin{bmatrix}{\frac {\partial Q_{1}}{\partial P_{1}}}&{\frac {\partial Q_{1}}{\partial P_{2}}} \\{\frac {\partial Q_{2}}{\partial P_{1}}}&{\frac {\partial Q_{2}}{\partial P_{2}}}\end{bmatrix}}= {\frac {1}{D}}{\begin{bmatrix}-\partialQ_{2}}^{2}F_{U}\partialQ_{1}}F_{U}/P_{ 1&\partialQ1Q2}^{ 2FU\partialQ2}FU/P2\\\partialQ 1}Q_{2}}^{2}F_{U}\partialQ_{1}}F_{U}/P_{1}&-\partialQ_{1}}^ {2}F_{ U}\partialQ2FU/P2\end{bmatrix}}$

Som en negativ størrelse, forutsatt at nyttefunksjonen er ikke-avtagende og konveks [ 2 ] har vi betingelsene: $\scriptstyle D<0$

$\partialQ_{i}}F_{U}={\frac {\partial F_{U}}{\partial Q_{i}}}\geq 0,\qquad \partialQ_{i }}^{2}F_{U}={\frac {\partial 2}F_{U}}{\partial Q_{i}^{2}}}<0$

Under disse forutsetningene er det vist at etterspørsels"kurven" har en negativ helning på alle punktene siden:

${\frac {\partial Q_{i}}{\partial P_{i}}}=\underbrace {-{\frac {1}{DP_{1}}}}{\geq 0}\underbrace { \left({\frac {\partial 2}F_{U}}{\partial Q_{j}}}\right)}\leq 0}\underbrace {\left({\frac {\partial F U} {\partial Q i }}\right)} ? 0 ? 0$

Se også

Referanser

↑ Pindyck, Robert S.; Rubinfeld, Daniel (2009). Mikroøkonomi (syvende utgave). Pearson Education SA s. 26. ISBN 978-84-832-2706-0 .
↑ Konveksitetsbetingelsen er oppfylt, for eksempel hvis loven om avtagende marginalavkastning gjelder for en hvilken som helst mengde varer.