Harmonisk progresjon (matematikk)

I aritmetiske og geometriske progresjoner er det variasjon mellom to påfølgende ledd, men i tilfelle av en harmonisk progresjon er tre ledd knyttet.

Definisjon

Gitt tre tall m, n, p, sies de å være i harmonisk forhold hvis . [ 1 ] ${\frac {m}{p}}={\frac {mn}{np}}$

En tallsekvens danner en harmonisk progresjon hvis hver samling av tre påfølgende ledd danner et harmonisk forhold.

Eksempler

1/3, 1/6, 1/9, 1/12, 1/15, 1/18,...

Et av de mest interessante tilfellene er den harmoniske sekvensen hvis ledd er 1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/n,... der n er et positivt heltall.

serien er divergerende når n er på uendelig, men

1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{n}}

den generelle termen 1/n har en tendens til 0, når n har en tendens til uendelig. [ 2 ]

Forslag

De multiplikative inversene til leddene som er i aritmetisk progresjon danner en harmonisk progresjon.

Test

hvis du har

{\frac {m}{p}}={\frac {mn}{np}}

fra hvor

m(np)=p(mn)

å dele hvert ledd med mnp

{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{n}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{m}}

som bekrefter forslaget.

Harmonisk middelverdi

La m og n være to tall og H være deres harmoniske gjennomsnitt, som vist (der "m" er det største tallet og "n" det minste tallet):

{\frac {1}{H}}-{\frac {1}{m}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{H}}

jeg mener

{\frac {2}{H}}={\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}

Til slutt

H={\frac {2mn}{m+n}}

Eiendom

Hvis A, G, H er de aritmetiske, geometriske og harmoniske middelene, så er det geometriske gjennomsnittet det proporsjonale gjennomsnittet mellom det aritmetiske og harmoniske gjennomsnittet.

Dette er enten $::A:G::G:H$ ${\frac {A}{G}}={\frac {G}{H}}$

Det harmoniske gjennomsnittet av m og n er , som kan skrives $H={\frac {2mn}{m+n}}$

$H={\frac {mn}{\frac {m+n}{2}}}$ , eller på annen måte (α) $H={\frac {({\sqrt {mn}})^{2}}{\frac {m+n}{2}}}$

På den annen side og i (α) har vi $G={\sqrt {mn}}$ $A={\frac {m+n}{2}}$

$H={\frac {G^{2}}{A}}$ , som er hentet fra , som beviser forholdet $A\cdot H=G^{2}$

Se også

Referanser

↑ Hall-Knight: høyere algebra, Uteha, Mexico 1982
↑ Leithold: Kalkulus med analytisk geometri