Brøkdel

Hvert reelt tall x kan skrives på formen n + r der n er heltallsdelen av x , og r er et ikke-negativt reelt tall mindre enn 1, kalt brøkdelen eller brøkdelen av x .

Hvis x er et positivt tall skrevet med desimalnotasjon , tilsvarer brøkdelen sifrene som vises etter desimalsifferet, men denne ekvivalensen gjelder ikke for negative tall.

Mer presist er brøkdelen av et reelt tall x definert som: [ 1 ]

$\{x\}=x-\lgulv x\rgulv$

hvor representerer gulvfunksjonen . Noen ganger brukes notasjonen eller også for å representere brøkdelen. [ 1 ] $\lfloor \ \rfloor$ $\langle x\rangle$ $x\,{\bmod {\,}}1$

Eksempler

Hvis , så er brøkdelen av x : . $x=3.14$ $\{3.14\}=3.14-\lgulv 3.14\rgulv =3.14-3=0.14$

Hvis , så er brøkdelen av x : . $x=8$ $\{8\}=8-\letasje 8\retasje =8-8=0$

Hvis , så er brøkdelen av x : . $x=-8.21$ $\{-8.21\}=-8.21-\lgulv -8.21\rgulv =-8.21-(-9)=0.79$

Egenskaper

Ved å være definert i form av gulvfunksjonen deler brøkdelen mange lignende egenskaper.

$\{x+n\}=\{x\}\,$ for et hvilket som helst heltall n .
${\Big \{}\{x\}{\Big \}}=\{x\}$ (idempotens).
$\{-x\}=1-\{x\}$ hvis x ikke er et heltall, for et hvilket som helst heltall n . $\{n\}=0$
$\{x\}$ er en stykkevis diskontinuerlig funksjon og mindre enn halvkontinuerlig.

Gulvfunksjonen er periodisk og har en Fourier- serieutvidelse rundt ikke-heltallsverdier:

$\{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sumk=1}^{\infty }{\frac {\sin (2\pi kx)}{k}}$ hvis x ikke er et heltall.

Alternativ definisjon

Det er ingen absolutt konsensus om hvordan brøkdelen skal defineres for negative tall, selv om definisjonen gitt i denne artikkelen er den som er mest brukt i det matematiske samfunnet. [ 2 ]

En alternativ måte å definere brøkdelen på er å bruke en annen regel avhengig av om argumentet er positivt eller negativt:

$\{x\}={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor &{\mbox{ si }}x\geq 0\\x-\lceil x\rceil &{\mbox{ si } }x<0\\\end{cases}}$

hvor representerer takfunksjonen. $\lceil x\rceil$

Med denne definisjonen vil brøkdelen av -8,21 være (merk at den heller ikke er lik tallet oppnådd ved å ta bare tallene etter desimaltegnet, i dette tilfellet 0,21). $\{-8.21\}=-0.21$

En av fordelene med den alternative definisjonen er at formelen er gyldig, selv om andre nyttige egenskaper som den ikke lenger er gyldige. $x=\operatørnavn {int} (x)+\operatørnavn {frac} (x)$ $\{x+n\}=\{x\}$

Se også

stykkevis funksjon

Referanser

^ a b Ronald L. Graham (1994). Konkret matematikk (2. utgave). Addison-Wesley. ISBN 0201558025 . |fechaacceso=krever |url=( hjelp )
^ "Brøkdeler" . MathWorld . Hentet 2012-04-22 .

Eksterne lenker

Weisstein, Eric W. Brøkdel . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch .