Strømning i røret

Et av aspektene ved væskedynamikk er oppførselen til væskestrømmer, det vil si bevegelsen til sistnevnte.

Strømningskontinuitetsligningen

Konservering av væskemasse på tvers av to seksjoner (la dem være A 1 og A 2 ) av en ledning ( rør ) eller strømrør sier at massen som går inn er lik massen som går ut.

Definisjon av strømrør : overflate dannet av strømlinjer. Konsekvens: det er bare strømflyt hvis V er forskjellig fra 0 .

Kontinuitetsligningen kan uttrykkes som :

\rho 1}.A_{1}.V_{1}=\rho 2}.A_{2}.V_{2}

Når , som er det generelle tilfellet når det gjelder vann og jevn strøm, har vi: $\rho 1}=\rho 2}$

$\ A_{1}.V_{1}=A_{2}.V_{2}$

hvis ikke:

$\ Q_{1}=Q_{2}$ (strømmen som kommer inn er lik den som går ut)

hvor:

Q = strømningshastighet ( ) $m^{3}/s$
V = hastighet $(m/s)$
A = tverrsnittsareal av strømrøret eller kanalen $(m^{2})$

Den forrige ligningen er oppfylt når ingen masse akkumuleres mellom to seksjoner av rørledningen, det vil si så lenge væsken er inkompressibel og derfor dens tetthet er konstant. Denne betingelsen tilfredsstilles av alle væsker, og spesielt vann .

Generelt er geometrien til kanalen kjent, så problemet reduseres til å estimere middelhastigheten til væsken i en gitt seksjon.

Bernoullis prinsipp

For disse formålene er Bernoullis prinsipp anvendelig , som ikke er noe mer enn formuleringen, langs en flytlinje, av loven om bevaring av energi . For en ideell væske , uten friksjon , er det uttrykt , hvor: $h+{\frac {v^{2}}{2g}}+{\frac {P}{\rho g}}=konstant$

g = akselerasjon på grunn av tyngdekraften
$\rho$ = væsketetthet _
P = trykk

Det forstås at de tre tilleggene dimensjonalt sett er en lengde (eller høyde), så prinsippet uttrykkes normalt ved å si at langs en strømlinje forblir summen av den geometriske høyden, hastighetshøyden og høydetrykket konstant.

Når væsken er ekte, må den for å sirkulere mellom to seksjoner av ledningen overvinne motstanden på grunn av friksjon med rørets indre vegger , så vel som de som kan oppstå når de passerer gjennom spesielle områder som ventiler, utvidelser, albuer, etc. For å overvinne disse motstandene, må væsken bruke eller miste en viss mengde energi eller, med terminologien hentet fra Bernoulli-prinsippet om høyde, som nå kan formuleres, mellom seksjonene 1 og 2:

$h_{1}+{\frac {v_{1}^{2}}{2g}}+{\frac {P_{1}}{\rho g}}=h_{2}+{\frac {v_{2}^{2}}{2g}}+{\frac {P_{2}}{\rho g}}+tap(1,2)$ , eller hva som er det samme

$(h_{1}-h_{2})+{\frac {(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})}{2g}}+{\frac {(P_ {1}-P_{2})}{\rho g}}=tap(1,2)$ ,

Hvor tap (1,2) representerer summen av de kontinuerlige tapene (på grunn av friksjon mot veggene) og de lokaliserte (ved kryssing av spesielle seksjoner).

Fortsatt tap

Friksjonstap er en funksjon av kanalens ruhet, væskens viskositet , driftsregimet ( laminær strømning eller turbulent strømning ) og den sirkulerende strømningshastigheten ; det vil si av hastigheten (jo høyere hastighet, jo flere tap).

Hvis L er avstanden mellom punktene 1 og 2 (målt langs rørledningen), så representerer koeffisienten (tap (1,2)) / L høydetapet per lengdeenhet på rørledningen og kalles helning på kraftledningen. La oss kalle det J.

Når strømmen er turbulent ( Reynolds tall > 4000 turbulent strømning; 2000 < Re < 4000 overgangsstrøm; Re < 2000 laminær strømning), som forekommer i nesten alle tilfeller, er det flere formler, både teoretiske ( Ligning av Darcy-Weisbach ), så vel som eksperimentelle ( Hazen-Williams- ligning , Manning-ligning , etc.), som relaterer helningen til energilinjen til væskens strømningshastighet. Kanskje den enkleste og mest brukte er Mannings formel:

$V=K.R_{h}^{2/3}.J^{0.5}$

V = vannhastighet (m/s)
K = ruhetskoeffisient , avhenger av materialet til røret og dets tilstand. Det er flere uttrykk for denne koeffisienten oppnådd eksperimentelt av forskjellige forskere som: Manning ; Bazin ; kutter ; Strickler , blant andre.
R h = seksjonens hydrauliske radius = fuktet område / fuktet omkrets (en fjerdedel av diameteren for sirkulære kanaler med full seksjon) (m)
J = energigradient (m/m)

Lokaliserte tap

I tilfelle at det mellom de to bruksseksjonene av Bernoulli-prinsippet er punkter hvor kraftledningen lider lokaliserte tap (tankuttak, albuer, plutselige endringer i diameter, ventiler osv.), blir de tilsvarende høydetapene lagt til de som tilsvarer friksjon. Generelt er alle de lokale tapene bare en funksjon av hastigheten, og justeres ved hjelp av eksperimentelle uttrykk av typen:

$pl=K\cdot {\frac {v^{2}}{2g}}$

hvor pl er det lokaliserte tapet.

K-koeffisientene er angitt i den spesialiserte tekniske litteraturen, eller må leveres av produsentene av rørdeler.

Beregningsprosess

Ved prosjektering og praktisk beregning av vannrør forutsettes det at rørets geometri, det vil si de geometriske høydene h, er kjent. Den første beregningsseksjonen er laget for å falle sammen med et punkt hvor hastigheten og trykkforholdene også er kjent, for eksempel skallet til en tank (null trykk over atmosfæretrykk og null hastighet).

Ved å kjenne til trykket eller hastigheten på et hvilket som helst annet punkt i ledningen (for eksempel ved et inntakspunkt, null trykk), ved å anvende de eksponerte konseptene kan hastigheten og følgelig strømningen bestemmes.

Selvfølgelig er prosessen iterativ. Innledningsvis antas det at settet med lokaliserte tap (summen av koeffisientene K) er null, med hvilken en initial sirkulasjonshastighet V0 bestemmes. Fra denne hastigheten introduseres de lokaliserte tapene, og oppnår V1, og så videre til (Vi - Vj) av de to siste iterasjonene er så liten som ønsket. Tilstrekkelig konvergens oppnås vanligvis med et par iterasjoner.

Praktisk applikasjonseksempel

La det hydrauliske systemet til figuren være sammensatt av følgende elementer:

Topptank (1), hvis vannstand antas å være konstant, og i en høyde på +1,00.
Limtank (3), samme forhold, høyde +0,00.
Unionsrør, PVC , diameter 26, lengde mellom tankene 2000 m.
Lavt punkt i denne ledningen, som ligger 1500 m fra hodetanken, på høyde 0,00. Det er et inntak med en ventil som strømning kan utledes gjennom.

Under disse forholdene, se bort fra lokaliserte tap og innrømme at for PVC er faktoren (1/n) i Mannings formel lik 100, bestemme:

Tilfelle 1: Med inntaksventilen på det lave punktet lukket, strømmer strømmen fra hodetanken til haletanken.
Tilfelle 2: Den maksimale verdien av strømmen som kan evakueres gjennom lavpunktet (2) med den betingelse at det ikke kommer vann inn eller ut av tanken (3). I denne hypotesen, hva er verdien av trykket i (2)?
Tilfelle 3: Maksimal strømning som kan evakueres gjennom inntaket (2).

Første tilfelle

På overflaten av avsetningene P1=P3=0 (atmosfærisk). På disse punktene V1=V3=0 (konstant vannflate antas).

Deretter uttrykker anvendelsen av Bernoullis prinsipp på seksjon 1-3: (h1-h3) = tap(1,3) = 50 m

Friksjonstapet J, vil resultere: J = 50 /2000 = 0,025 Ved å bruke Manning på kanalen finner vi V og deretter Q:

$V=100\ \left({\frac {0.3}{4}}\right)^{2/3}\ 0.025^{0.5}=2.812$

$Q=VA=2.812\ {\frac {(0.3)^{2}3.14}{4}}=0.199\ m^{3}/s=199\ l/s$

Andre sak

Forutsetningen om at det ikke er noen fluks mellom punkt 2 og 3 innebærer at den totale energien ved begge er den samme. Siden den totale energien i (3) er 50 m, vil dette også være verdien i (2)

Bernoullis søknad til seksjon 1-2 gir oss: $(70-0)+{\frac {0^{2}-V_{2}^{2}}{2g}}+(0-P_{2})={\text{P}}{ \acute {e}}{\text{tap}}(1,2);\ 70-0=0+{\frac {V_{2}^{2}}{2g}}+P_{2}$

1) ${\frac {V_{2}^{2}}{2g}}+P_{2}+{\text{P}}{\acute {e}}{\text{tap}}(1, 2)=70;$

På den annen side, i avsnitt 2-3, siden det ikke er tap siden det ikke er vannoverføring, vil det være:

$0+{\frac {V_{2}^{2}}{2g}}+P_{2}=20+0+0;\ {\frac {V_{2}^{2}}{2g }}+P_{2}=20$

erstatter i 1)

$20+{\text{P}}{\acute {e}}{\text{tap}}(1,2)=70;{\text{P}}{\acute {e}}{\ tekst{tap}}(1,2)=70-20=50$

Derfra trekker vi at tapene i seksjonen er 50 m

Friksjonstapet J, vil være verdt: $J={\frac {50}{1500}}=0,03333$

Påføring av Manning på kanalen: $V={\frac {1}{n}}\cdot R_{h}^{0.66}\cdot J^{0.5}=100\cdot 0.075^{0.666}\cdot 0.1825 =3.246\ {\text {m/s}}$

, senere $Q=V*A=3.246*0.3^{2}*{\frac {3.14}{4}}=0.229\ {\text{m}}^{3}{\text{/ s}}= 229\ {\text{l/s}}$

Og presset vil være: $P=20-{\frac {3.246^{2}}{2\cdot 9.8}}\approx 19.8\ {\text{mca}}=1.91\ {\text{atm} }$

Tredje tilfelle

Nå kan det være flyt til (2), både fra (1) og fra (3). Den totale flyten vil være summen av den oppnådd av hver gren.

Den totale energien i (2) vil i dette tilfellet være, siden P1 = P2 = P3 = 0, og h2=0, utelukkende lik hastighetshøyden. Vi forsømte det i en første iterasjon.

Etter gren 1-2; Tap = 70 m, J = 70 /1500 = 0,04667 og V = 3,8419 m/s

Ved gren 3-2; Tap = 20 m, J = 20 / 500 = 0,04 og V = 3,5569 m/s

Summen av strømmer vil være Q = (3,8419 + 3,5569) * 0,3^2 * 3,14/4 = 0,5230 m³/s = 523 l/s .

Siden hastigheten på vannet ved utløpet ikke er null, men (3,8419 + 3,5569) = 7,3988,

hastighetshøyden i (2) for en andre iterasjon vil være 7,3988^2 /2 . 9,81 = 2,7930 m,

Vi ville gjenta beregningen (70 - 2,7930) = 67,2071 m på gren 1-2,

og (20 - 2,7930) = 17,2071 m på gren 3-2,

oppnå en total strømning noe lavere enn den oppnådd i første iterasjon: 499 l/s

Fra tredje iterasjon stabiliserer den beregnede strømningen seg på Q = 501 l/s