Kardioid



All kunnskapen som mennesket har samlet i århundrer om Kardioid er nå tilgjengelig på internett, og vi har samlet og bestilt den for deg på en mest mulig tilgjengelig måte. Vi vil at du skal kunne få tilgang til alt relatert til Kardioid som du vil vite raskt og effektivt; at opplevelsen din er hyggelig og at du føler at du virkelig har funnet informasjonen om Kardioid som du lette etter.

For å nå våre mål har vi gjort en innsats for ikke bare å få den mest oppdaterte, forståelige og sannferdige informasjonen om Kardioid, men vi har også passet på at utformingen, lesbarheten, lastehastigheten og brukervennligheten til siden være så hyggelig som mulig, slik at du på denne måten kan fokusere på det essensielle, kjenne til all data og informasjon som er tilgjengelig om Kardioid, uten å måtte bekymre deg for noe annet, vi har allerede tatt hånd om det for deg. Vi håper vi har oppnådd vårt formål og at du har funnet informasjonen du ønsket om Kardioid. Så vi ønsker deg velkommen og oppfordrer deg til å fortsette å nyte opplevelsen av å bruke scientiano.com.

Et kardioid (fra det greske "hjertet") er en plan kurve sporet av et punkt på omkretsen av en sirkel som ruller rundt en fast sirkel med samme radius. Den greske foreslår videre at bevegelse av denne rotasjonen etterligner gyngingen av hjertet på en akse definert matematisk som kardioid. Det kan også defineres som et epicykloid som har et enkelt hakk . Det er også en type sinusformet spiral , og en invers kurve av parabolen med fokus som sentrum for inversjon. Det er også settet med refleksjonspunkter for et fast punkt på en sirkel gjennom alle tangenter til sirkelen.

Navnet ble laget av de Castillon i 1741, men hadde vært gjenstand for studier tiår på forhånd. Oppkalt etter sin hjertelignende form, er den formet mer som omrisset av tverrsnittet av et rundt eple uten stilken.

En kardioidmikrofon viser et akustisk opptaksmønster som, når det er tegnet i to dimensjoner, ligner et kardioid (et hvilket som helst 2d -plan som inneholder den 3d rette linjen i mikrofonlegemet). I tre dimensjoner er kardioiden formet som et eple sentrert rundt mikrofonen som er "stilken" til eplet.

Likninger

La det være den felles radiusen for de to generasjonssirklene med midtpunkter , rullevinkelen og opprinnelsen som utgangspunktet (se bildet). Man får det

og herfra representasjonen i

.

Vi introduserer substitusjonene, og man får etter å ha fjernet kvadratroten den implisitte representasjonen i

.

Bevis for den parametriske representasjonen

Et bevis kan etableres ved hjelp av komplekse tall og deres vanlige beskrivelse som det komplekse planet . Den svarte sirkelens rullende bevegelse på den blå kan deles i to rotasjoner. I det komplekse planet kan en rotasjon rundt punktet (opprinnelsen) med en vinkel utføres ved å multiplisere et punkt (komplekst tall) med . Derfor

rotasjonen rundt punktet er ,
rotasjon rundt punktet er: .

Et punkt på kardioiden genereres ved å rotere opprinnelsen rundt punktet og deretter rotere rundt med samme vinkel :

.

Herfra får man den parametriske representasjonen ovenfor:

(Formlene ble brukt. Se trigonometriske funksjoner .)

Metriske egenskaper

Følgende formler gjelder for kardioiden som definert ovenfor:

  • område ,
  • buelengde og
  • krumningsradius

Bevisene for denne uttalelsen bruker i begge tilfeller den polare representasjonen av kardioidet. For passende formler, se polært koordinatsystem (buelengde) og polært koordinatsystem (areal)

bevis på arealformelen
.
bevis på buelengdeformelen
.
bevis for krumningsradius

Krumningsradius for en kurve i polære koordinater med ligning er (s. Krumning )

For kardioiden får man

Egenskaper

Akkorder gjennom spissen

  • C1: akkorder gjennom kardioidens cusp har samme lengde .
  • C2: Den midtpunktene av de korder gjennom møtepunktet ligge på omkretsen av den faste generatorsirkelen (se bilde).
bevis for C1

Punktene er på et akkord gjennom cusp (= opprinnelse). Derfor

.
bevis for C2

Som bevis brukes representasjonen i det komplekse planet (se ovenfor). For poengene

,

midtpunktet av akkorden er

som ligger på omkretsen av sirkelen med midtpunkt og radius (se bilde).

Kardioid som invers kurve av en parabel

  • En kardioid er den inverse kurven til en parabel med fokus i sentrum av inversjonen (se grafen)

For eksemplet vist i grafen har generatoren sirkler radius . Derfor har kardioiden den polare representasjonen

og dens inverse kurve

,

som er en parabel (s. parabel i polare koordinater ) med ligningen i kartesiske koordinater.

Bemerkning: Ikke hver invers kurve av en parabel er en kardioid. For eksempel, hvis en parabel er snudd på tvers av en sirkel hvis senter ligger i toppunktet på parabolen, er resultatet en tvers av Diocles .

Kardioid som konvolutt av en blyant med sirkler

I forrige seksjon hvis man i tillegg inverterer tangentene til parabolen, får man en blyant med sirkler gjennom midten av inversjonen (opprinnelse). En detaljert vurdering viser: Sentrums midtpunkter ligger på omkretsen av den faste generator -sirkelen. (Generatorsirkelen er den inverse kurven til parabolasens Directrix.)

Denne egenskapen gir opphav til følgende enkle metode for å tegne et kardioid:

1) Velg en sirkel og et punkt på omkretsen,
2) tegne sirkler som inneholder senter på , og
3) tegne konvolutten til disse sirklene.
bevis med konvoluttilstand

Konvolutten til blyanten med implisitt gitt kurver

med parameter består av slike punkter som er løsninger av det ikke-lineære systemet

( betyr delvis derivat for parameter .

La være sirkelen med midtpunkt og radius . Har deretter parametrisk representasjon . Blyanten av sirkler med senter for å inneholde punkt kan implisitt representeres av

,

som tilsvarer

Den andre konvoluttbetingelsen er

.

Man sjekker enkelt at punktene til kardioiden med den parametriske representasjonen

oppfyller det ikke-lineære systemet ovenfor. Parameteren er identisk med vinkelparameteren til kardioiden.

Kardioid som konvolutt av en blyant med linjer

En lignende og enkel metode for å tegne en kardioid bruker en blyant med linjer . Det skyldes L. Cremona :

  1. Tegn en sirkel, del omkretsen i like store deler med punkter (s. Bilde) og nummer dem etter hverandre.
  2. Tegn akkorder: . (dvs.: Det andre punktet beveges med dobbel hastighet.)
  3. Den konvolutten av disse akkordene er en cardioid.
bevis

Følgende vurdering bruker trigonometriske formler for . For å holde beregningene enkle, gis beviset for kardioidet med polar representasjon (se avsnitt Kardioider i forskjellige posisjoner ).

likningen av tangenten

av kardioiden med polar representasjon :

Fra den parametriske representasjonen

man får den normale vektoren . Likningen for tangenten er:

Ved hjelp av trigonometriske formler og påfølgende divisjon av kan tangensligningen skrives om til:

likningen av akkordet

av sirkelen med midtpunkt og radius : For ligningen for den sekantlinjen som passerer de to punktene man får:

Ved hjelp av trigonometriske formler og den påfølgende divisjonen med ligningen for den sekantlinjen kan skrives om av:

Til tross for at de to vinklene har forskjellige betydninger (s. Bilde) man får for samme linje. Derfor er enhver sekant linje i sirkelen, definert ovenfor, også en tangent av kardioiden:

  • Kardioiden er konvolutten til akkordene i en sirkel.

Bemerkning:
Beviset kan utføres ved hjelp av konvoluttbetingelsene (se forrige avsnitt) av en implisitt blyant av kurver:

er blyanten med sekantlinjer i en sirkel (s. ovenfor) og

For fast parameter t representerer begge ligningene linjer. Skjæringspunktet deres er

,

som er et punkt på kardioiden med polærligning

Kardioid som etsende av en sirkel

Betraktningene i forrige seksjon gir et bevis på at kaustikken til en sirkel med lyskilde på omkretsen av sirkelen er et kardioid.

  • Hvis det i flyet er en lyskilde på et punkt på omkretsen av en sirkel som reflekterer en hvilken som helst stråle, så er de reflekterte strålene i sirkelen tangenter av et kardioid.
bevis

Som i forrige seksjon kan sirkelen ha midtpunkt og radius . Den parametriske representasjonen er

Tangenten ved sirkelpunktet har normal vektor . Derfor har den reflekterte strålen den normale vektoren (se grafen) og inneholder punkt . Den reflekterte strålen er en del av linjen med ligning (se forrige avsnitt)

som er tangens for kardioiden med polær ligning

fra forrige seksjon.

Bemerkning: Av slike hensyn blir vanligvis flere refleksjoner ved sirkelen neglisjert.

Kardioid som pedalkurve i en sirkel

Cremona -generasjonen av et kardioid bør ikke forveksles med følgende generasjon:

La det være en sirkel og et punkt på omkretsen av denne sirkelen. Følgende er sant:

  • Foten av vinkelrett fra punktet på sirkelens tangenter er punkter på en kardioid.

Derfor er en kardioid en spesiell pedalkurve av en sirkel.

bevis

I et kartesisk koordinatsystem kan sirkel ha midtpunkt og radius . Tangenten ved sirkelpunktet har ligningen

Foten av den vinkelrette fra punktet på tangenten er punkt med den fremdeles ukjente avstanden til opprinnelsen . Sette inn punktet i ligningen for tangentutbyttene

som er polarligningen for et kardioid.

Bemerkning: Hvis punktet ikke er på omkretsen av sirkelen , får man en limasjon av Pascal .

Utviklingen av et kardioid

Den evoluten av en kurve er det geometriske sted for krumningssentre. I detalj: For en kurve med krumningsradius har evoluten representasjonen

med den passende orienterte enheten normal.

For en kardioid får man:

  • Den evoluten av en kardioide er en annen kardioide en tredjedel så stor (s. Bildet).
bevis

For kardioiden med parametrisk representasjon

enheten er normal

og krumningsradius

Derfor er de parametriske ligningene til evolute

Disse ligningene beskriver en kardioid en tredjedel som stor, rotert 180 grader og forskjøvet langs x-aksen med .

(Trigonometriske formler ble anvendt: )

Ortogonale baner

En ortogonal bane for en blyant av kurver er en kurve som skjærer en hvilken som helst kurve av blyanten ortogonalt. For kardioider gjelder følgende:

  • De ortogonale banene til blyanten av kardioider med ligninger
er kardioider med ligninger

(Den andre blyanten kan betraktes som refleksjoner ved y-aksen til den første. Se diagram.)

Bevis:
For en kurve gitt i polare koordinater av en funksjon, holder følgende forbindelse til kartesiske koordinater:

og for derivatene

Deling av den andre ligningen med den første gir den kartesiske skråningen til tangenslinjen til kurven ved punktet :

For kardioider med henholdsvis ligningene og en får:

og

(Hellingen til en hvilken som helst kurve er avhengig av bare, og ikke av parameterne  !) Derfor

Det betyr: Enhver kurve for den første blyanten krysser enhver kurve av den andre blyanten ortogonalt.

I forskjellige stillinger

Å velge andre posisjoner for kardioidet i koordinatsystemet resulterer i forskjellige ligninger. Bildet viser de 4 vanligste posisjonene til et kardioid og deres polare ligninger.

I kompleks analyse

Grensen til den sentrale, periode 1, regionen til Mandelbrot -settet er en omtrentlig kardioid.

I kompleks analyse er bildet av en sirkel gjennom opprinnelsen under kartet et kardioid. En anvendelse av dette resultatet er at grensen til den sentrale periode-1-komponenten i Mandelbrot-settet er et kardioid gitt av ligningen

Mandelbrot -settet inneholder et uendelig antall litt forvrengte kopier av seg selv, og den sentrale pæren til noen av disse mindre kopiene er en omtrentlig kardioid.

Den kaustiske som fremkommer på overflaten av denne kopp kaffe er en kardioide.

Kaustikk

Enkelte etsende midler kan ha form av kardioider. Kattestoffet til en sirkel med hensyn til et punkt på omkretsen er et kardioid. Dessuten er katakustikken til en kjegle med hensyn til stråler parallelle med en generasjonslinje en overflate hvis tverrsnitt er et kardioid. Dette kan sees, som på fotografiet til høyre, i en konisk kopp som er delvis fylt med væske når et lys skinner på avstand og i en vinkel som er lik kjeglen. Formen på kurven nederst på en sylindrisk kopp er halvparten av en nephroid , som ser ganske lik ut.

Se også

Merknader

Referanser

Eksterne linker

Opiniones de nuestros usuarios

Arvid Hauge

Fin artikkel fra Kardioid.

Piotr Carlsen

Det er en god artikkel om Kardioid. Den gir nødvendig informasjon, uten utskeielser.

Merete Fredriksen

Artikkelen om Kardioid er fullstendig og godt forklart. Jeg ville ikke legge til eller fjerne et komma.

John Syversen

Det stemmer. Gir nødvendig informasjon om Kardioid.