Kardinalitet



All kunnskapen som mennesket har samlet i århundrer om Kardinalitet er nå tilgjengelig på internett, og vi har samlet og bestilt den for deg på en mest mulig tilgjengelig måte. Vi vil at du skal kunne få tilgang til alt relatert til Kardinalitet som du vil vite raskt og effektivt; at opplevelsen din er hyggelig og at du føler at du virkelig har funnet informasjonen om Kardinalitet som du lette etter.

For å nå våre mål har vi gjort en innsats for ikke bare å få den mest oppdaterte, forståelige og sannferdige informasjonen om Kardinalitet, men vi har også passet på at utformingen, lesbarheten, lastehastigheten og brukervennligheten til siden være så hyggelig som mulig, slik at du på denne måten kan fokusere på det essensielle, kjenne til all data og informasjon som er tilgjengelig om Kardinalitet, uten å måtte bekymre deg for noe annet, vi har allerede tatt hånd om det for deg. Vi håper vi har oppnådd vårt formål og at du har funnet informasjonen du ønsket om Kardinalitet. Så vi ønsker deg velkommen og oppfordrer deg til å fortsette å nyte opplevelsen av å bruke scientiano.com.

Settet med alle platoniske faste stoffer har 5 elementer. Dermed .

I matematikk er kardinaliteten til et sett et mål på "antall elementer " i settet. For eksempel inneholder settet 3 elementer, og har derfor en kardinalitet på 3. Fra slutten av 1800 -tallet ble dette konseptet generalisert til uendelige sett , noe som gjør at man kan skille mellom de forskjellige typene uendelig og utføre aritmetikk på dem . Det er to tilnærminger til kardinalitet: en som sammenligner sett direkte ved hjelp av bijeksjoner og injeksjoner , og en annen som bruker kardinalnummer . Kardinaliteten til et sett kalles også dets størrelse , når det ikke er mulig å forveksle med andre størrelsesbegreper.

Kardinaliteten til et sett er vanligvis angitt , med en vertikal strek på hver side; dette er den samme notasjonen som absolutt verdi , og betydningen avhenger av kontekst . Kardinaliteten av et sett alternativt kan betegnes med , , , eller .

Historie

Fra slutten av 1800 -tallet ble dette konseptet generalisert til uendelige sett, noe som gjør at man kan skille mellom de forskjellige typene uendelig, og utføre aritmetikk på dem.

Sammenligning av sett

Bijektiv funksjon fra N til settet E med like tall . Selv om E er et skikkelig delsett av N , har begge settene samme kardinalitet.
N har ikke den samme kardinaliteten som dens kraftsett P ( N ): For hver funksjon f fra N til P ( N ) er settet T = { n N : n f ( n )} uenig med hvert sett i område av f , derfor kan f ikke være subjektiv. Bildet viser et eksempel f og det tilsvarende T ; rød : n f ( n ) \ T , blå : n T \ f ( n ).

Selv om kardinaliteten til et begrenset sett bare er antallet elementer, starter utvidelsen av begrepet til uendelige sett vanligvis med å definere forestillingen om sammenligning av vilkårlige sett (hvorav noen muligens er uendelige).

Definisjon 1: | A | = | B |

To sett A og B har samme kardinalitet hvis det eksisterer en bijeksjon (alias, en-til-en-korrespondanse) fra A til B , det vil si en funksjon fra A til B som er både injektiv og subjektiv . Slike sett sies å være ekvipotente , ekvipollente eller likeverdige . Dette forholdet kan også betegnes A B eller A ~ B .
For eksempel har settet E = {0, 2, 4, 6, ...} av ikke-negative partall samme kardinalitet som settet N = {0, 1, 2, 3, ...} med naturlig tall , siden funksjonen f ( n ) = 2 n er en bijeksjon fra N til E (se bilde).

Definisjon 2: | A | | B |

En har Kardinaliteten mindre enn eller lik den cardinality av B , dersom det foreligger en Injektiv fra A til B .

Definisjon 3: | A | <| B |

En har kardinalitet strengt mindre enn kardinaliteten av B , hvis det er en Injektiv, men ingen bijective funksjon, fra A til B .
For eksempel har settet N for alle naturlige tall kardinalitet som er strengt mindre enn dets kraftsett P ( N ), fordi g ( n ) = { n } er en injektiv funksjon fra N til P ( N ), og det kan vises at ingen funksjon fra N til P ( N ) kan være bijektiv (se bilde). Ved et lignende argument har N kardinalitet strengt mindre enn kardinaliteten til settet R for alle reelle tall . For bevis, se Cantors diagonale argument eller Cantors første utallige bevis .

Hvis | A | | B | og | B | | A |, da | A | = | B | (et faktum kjent som Schröder - Bernstein teorem ). Den aksiom valg tilsvarer utsagnet om at | A | | B | eller | B | | A | for hver A , B .

kardinal tall

I seksjonen ovenfor ble "kardinalitet" av et sett definert funksjonelt. Med andre ord, det ble ikke definert som et bestemt objekt i seg selv. Et slikt objekt kan imidlertid defineres som følger.

Forholdet mellom å ha samme kardinalitet kalles equinumerosity , og dette er et ekvivalensforholdklassen av alle sett. Den ekvivalens klassen av et sett A under denne relasjon, og består av alle de apparater som har samme cardinality som A . Det er to måter å definere "kardinaliteten til et sett" på:

  1. Kardinaliteten til et sett A er definert som dens ekvivalensklasse under ekvivalentitet.
  2. Et representativt sett er angitt for hver ekvivalensklasse. Det vanligste valget er den første ordinalen i den klassen . Dette er vanligvis tatt som definisjonen av kardinalnummer i aksiomatisk settteori .

Forutsatt valgfri aksiom , er kardinalitetene til de uendelige settene angitt

For hver ordinal , er den minste kardinaltall større enn .

Kardinaliteten til de naturlige tallene er betegnet aleph-null ( ), mens kardinaliteten til de reelle tallene er betegnet med " " (et lite fraktur-skript "c"), og blir også referert til som kontinuitetets kardinalitet . Cantor viste, ved hjelp av det diagonale argumentet , at . Vi kan vise det , dette er også kardinaliteten til settet til alle delmengder av de naturlige tallene.

Den kontinuum hypotesen sier at , altså er det minste kardinaltall større enn , dvs. det er ingen satt hvis kardinaliteten er strengt mellom det av heltall og at de reelle tallene. Kontinuumhypotesen er uavhengig av ZFC , en standard aksiomatisering av settteori; det vil si at det er umulig å bevise kontinuumhypotesen eller dens negasjon fra ZFC - forutsatt at ZFC er konsistent. For flere detaljer, se § Kardinalitet i kontinuumet nedenfor.

Endelige, tellbare og utallige sett

Hvis valgets aksiom holder, gjelder trikotomiloven for kardinalitet. Dermed kan vi lage følgende definisjoner:

  • Ethvert sett X med kardinalitet mindre enn det for de naturlige tallene , eller |X | <|N | sies å være et begrenset sett .
  • Ethvert sett X som har samme kardinalitet som settet med de naturlige tallene, eller |X | = |N | = , sies å være et uendelig sett.
  • Ethvert sett X med kardinalitet større enn for de naturlige tallene, eller |X | > |N |, for eksempel |R | = > |N | sies å være utallige .

Uendelige sett

Vår intuisjon fra endelige sett bryter sammen når vi arbeider med uendelige sett . På slutten av 1800 -tallet avviste Georg Cantor , Gottlob Frege , Richard Dedekind og andre synet om at helheten ikke kan ha samme størrelse som delen. Et eksempel på dette er Hilberts paradoks av Grand Hotel . Faktisk definerte Dedekind et uendelig sett som et sett som kan plasseres i en en-til-en-korrespondanse med et strengt delsett (det vil si å ha samme størrelse i Cantors forstand); denne forestillingen om uendelig kalles Dedekind uendelig . Cantor introduserte kardinalnumrene, og viste-i henhold til hans vedleggingsbaserte definisjon av størrelse-at noen uendelige sett er større enn andre. Den minste uendelige kardinaliteten er den av de naturlige tallene ( ).

Kardinaliteten i kontinuumet

Et av Cantors viktigste resultater var at kardinaliteten til kontinuumet ( ) er større enn det for de naturlige tallene ( ); det vil si, det er flere reelle tall R enn naturlige tall N . Cantor viste nemlig at (se Beth one ) tilfredsstiller:

(se Cantors diagonale argument eller Cantors første utallige bevis ).

De kontinuum hypotese sier at det ikke er noen kardinaltall mellom kardinaliteten av Reals og kardinaliteten av de naturlige tall, det vil si,

Imidlertid kan denne hypotesen verken bevises eller motbevises innenfor den allment aksepterte ZFC aksiomatiske settteorien , hvis ZFC er konsistent.

Kardinal aritmetikk kan brukes til å vise ikke bare at antall punkter i en reell tallinje er lik antall poeng i et hvilket som helst segment på den linjen, men at dette er lik antall punkter på et fly og faktisk i alle endelige dimensjonale rom. Disse resultatene er svært kontraintuitive, fordi de antyder at det finnes riktige undersett og riktige oversett av et uendelig sett S som har samme størrelse som S , selv om S inneholder elementer som ikke tilhører dens undersett, og supersettene til S inneholder elementer som er ikke inkludert i den.

Den første av disse resultatene er åpenbar ved å betrakte, for eksempel, den tangent funksjon , som gir en en-til-en korrespondanse mellom intervallet (-½, ½) og R (se også Hilberts Hotell ).

Det andre resultatet ble først demonstrert av Cantor i 1878, men det ble mer tydelig i 1890, da Giuseppe Peano introduserte romfyllingskurvene , buede linjer som vrir og dreier nok til å fylle hele kvadratet, eller terningen eller hyperkuben , eller endelige dimensjonale rom. Disse kurvene er ikke et direkte bevis på at en linje har samme antall punkter som et endelig dimensjonalt rom, men de kan brukes til å få et slikt bevis .

Cantor viste også at sett med kardinalitet er strengt større enn det finnes (se hans generaliserte diagonale argument og teorem ). De inkluderer for eksempel:

  • settet til alle delsettene til R , dvs. kraftsettet til R , skrevet P ( R ) eller 2 R
  • settet R R for alle funksjoner fra R til R

Begge har kardinalitet

(se Bet to ).

Den kardinal likheter og kan påvises ved hjelp av kardinal aritmetikk :

Eksempler og egenskaper

  • Hvis X = { a , b , c } og Y = {epler, appelsiner, fersken}, så |X | = |Y | fordi {( a , epler), ( b , appelsiner), ( c , fersken)} er en Bijeksjon mellom settene X og Y . Kardinaliteten til hver av X og Y er 3.
  • Hvis |X | |Y |, så eksisterer det Z slik at |X | = |Z | og Z Y .
  • Hvis |X | |Y | og |Y | |X |, deretter |X | = |Y |. Dette gjelder selv for uendelige kardinaler, og er kjent som Cantor - Bernstein - Schroeder -setningen .
  • Sett med kontinuitetens kardinalitet inkluderer settet med alle reelle tall, settet med alle irrasjonelle tall og intervallet .

Forening og kryss

Hvis A og B er forskjellige sett , så

Fra dette kan man vise at generelt er kardinalitetene til fagforeninger og kryss knyttet til følgende ligning:

Se også

Referanser

Opiniones de nuestros usuarios

David Knutsen

Oppføringen på Kardinalitet har vært veldig nyttig for meg.

Brit Christiansen

Det er en god artikkel om Kardinalitet. Den gir nødvendig informasjon, uten utskeielser.