Càdlàg

I matematikk , càdlàg (fra fransk " fortsett à droite, limite à gauche " 'kontinuerlig til høyre, grense til venstre'), CDLI ("kontinuerlig til høyre med venstre grenser") eller cadlai ("kontinuerlig/til ( the) right, limit to (the) left") er en betegnelse som brukes både på funksjoner definert på reelle tall og på andre typer objekter. Det refererer til en klasse av objekter som det er høyre-lateral kontinuitet for, og som det samtidig er antatt at deres venstre grenser eksisterer på alle punkter.

Càdlàg - funksjonene er viktige i studiet av stokastiske prosesser der hopp er tillatt (eller til og med nødvendig), i motsetning til Brownsk bevegelse , som viser erkjennelser som er kontinuerlige baner. Samlingen av alle càdlàg- funksjoner over et gitt domene er kjent som Skorokhod-rommet .

To termer relatert til càdlàg er càglàd (" fortsett à gauche, limit à droite ") og càllàl (" fortsett à l'un, limit à l'autre "), for en funksjon som er om hverandre càdlàg eller càglàd på hvert punkt av domene .

Definisjon

La ( M , d ) være et metrisk rom og la E ⊆ R . En funksjon ƒ :  E → M kalles en funksjon càdlàg hvis for hver t ∈ E ,

Det vil si at ƒ er kontinuerlig fra høyre med en grense fra venstre.

Eksempler

Skorokhod plass

Settet med alle càdlàg- funksjoner fra E til M er ofte betegnet med D ( E ; M ) (eller ganske enkelt D ) og kalles Skorokhod-rommet etter den ukrainske matematikeren Anatoliy Skorokhod [hvis M er et vektorrom, så er rommet til Skorohod D ( E ; M ) vil også være et vektorrom]. I alle tilfeller kan Skorokhod-rommet tildeles en mer fleksibel topologi enn den som er forbundet med enhetlig konvergens . For enkelhets skyld vil vi heretter vurdere E = [0, T ] og M = R n — se Billingsley for en mer generell konstruksjon.

For å karakterisere dette rommet blir først en analog av kontinuitetsmodulen , ϖ′ ƒ ( δ ) , definert . For enhver F ⊆ E tar vi:

og for δ > 0 er modulen càdlàg definert som

hvor infimum er tatt over alle partisjoner Π = {0 = t 0 < t 1 < … < t k = T }, k ∈ N , med min i  ( t i − t i −1 ) > δ . Denne definisjonen gir mening for enhver ikke-càdlàg funksjon ƒ (akkurat som den vanlige kontinuitetsmodulen er godt definert for diskontinuerlige funksjoner), og det kan vises at ƒ er càdlàg hvis og bare hvis ϖ′ ƒ (δ) → 0 som δ → 0 . La nå Λ betegne settet med alle strengt økende , kontinuerlige , bijektive funksjoner til E på seg selv. Den enhetlige normen for funksjoner på E er definert som:

som gjør det mulig å definere Skorokhod-metrikken σ på D ved hjelp av relasjonen:

hvor I :  E → E er identitetsfunksjonen . I intuitive termer || λ−I || måler størrelsen på "krusningen over tid" og || ƒ − g○λ || måler størrelsen på "krusningen i rommet".

Det kan vises at Skorohod-metrikken faktisk er en metrikk i vanlig forstand. Topologien Σ generert av σ kalles Skorokhod- topologien på D.

Skorokhod plassegenskaper

Rommet C for kontinuerlige funksjoner på E er et topologisk underrom av D. Skorokhod-topologien relativert til C faller sammen med den enhetlige topologien.

Fullstendighet

Det kan vises at selv om D ikke er et komplett rom med hensyn til Skorokhod-metrikken σ , er det en topologisk ekvivalent metrikk σ 0 med hensyn til hvilken D er fullstendig. [ 1 ]

Separerbarhet

Med hensyn til σ eller σ 0 , er D et separerbart rom . Dermed er Skorokhod-rommet et polsk rom .

Skorokhod space squeeze

Ved å anvende Arzelà-Ascoli-teoremet kan det vises at sekvensen ( μ n ) n =1,2,... av gjennomsnittlige sannsynligheter i Skorokhod-rommet D er stram hvis og bare hvis de to betingelsene holder:

Y

Under Skorokhod-topologien og funksjonstillegget er ikke D en topologisk gruppe, som man kan se av følgende eksempel:

La være en enhetsintervall og ta som en sekvens av karakteristiske funksjoner. Til tross for at sekvensen i Skorokhod-topologien ikke konvergerer til 0.

Referanser

  1. Billingsley, 1999, Konvergens av sannsynlighetsmål

Bibliografi