Tangenssetningen

I dagens verden har Tangenssetningen blitt et tema med økende interesse for mennesker i alle aldre og samfunnslag. Enten vi snakker om Tangenssetningen på et personlig, faglig eller sosialt plan, er det ubestridelig dets betydning og relevans. Fra opprinnelsen til dens virkning i dag, har Tangenssetningen vært gjenstand for debatt, refleksjon og studier av både eksperter og entusiaster. I denne artikkelen vil vi utforske noen av de mest relevante og aktuelle aspektene ved Tangenssetningen, samt dens innflytelse på vårt daglige liv. Gjør deg klar til å fordype deg i den fascinerende verdenen til Tangenssetningen!

Figur 1 – En trekant

Trigonometri
Historie Anvendelser Hypotenus Funksjoner Inverse funksjoner
Referanse
Identiteter Eksakte konstanter Trigonometriske tabeller
Setninger
Sinussetningen Cosinussetningen Tangenssetningen Pytagoras’ læresetning
Matematisk analyse
Integraler av funksjoner Deriverte av funksjoner Integraler av inverse funksjoner Denne boksen: vis diskuter rediger

I trigonometrien er tangenssetningen^[1] en setning om forbindelsen mellom tangens til to vinkler av en trekant og lengdene av de motstående sidene.

I figur 1 er a, b og c lengdene av tre sider av trekanten, og α, β og γ er henholdsvis vinklene motstående disse sidene. Tangenssetningen sier at

{\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan}{\tan}}.

Tangenssetningen er, selv om den ikke er så vidt kjent som sinussetningen eller cosinussetningen, like nyttig, og kan brukes i alle tilfeller der to sider og en vinkel, eller to vinkler og en side, er kjent.

Tangenssetningen for sfæriske trekanter ble beskrevet i det 13. århundre av den persiske matematikeren Nasir al-Din al-Tusi (1201–74), som også presenterte sinussetningen for trekanter i planet i sitt fembinds verk Treatise on the Quadrilateral.^[2]^[3]

Bevis

For å bevise tangenssetningen kan vi starte med sinussetningen:

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}.

La

d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }},

slik at

a=d\sin \alpha {\text{ and }}b=d\sin \beta .\,

Det følger at

{\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.

Ved å bruke trigonometriske identiteter, er faktorformelen for sinus

\sin(\alpha )\pm \sin(\beta )=2\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right),\;

vi får

{\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}={\frac {\tan}{\tan}}.

Som et alternativ til å bruke identiteten for summen og differansen av to sinusverdier, kan man sitere den trigonometriske identiteten

\tan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}

(se formelen for tangens av halve vinkelen).

Se også

Fotnoter

^ Se Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 2002.
^ Marie-Thérèse Debarnot (1996). «Trigonometry». I Rushdī Rāshid, Régis Morelon. Encyclopedia of the history of Arabic science, Volume 2. Routledge. s. 182. ISBN 0415124115.
^ Q. Mushtaq, JL Berggren (2002). «Trigonometry». I C. E. Bosworth, M.S.Asimov. History of Civilizations of Central Asia, Volume 4, Part 2. Motilal Banarsidass Publ. s. 190. ISBN 8120815963.