Harmonisk middel

Det harmoniske gjennomsnittet (vanligvis betegnet med H ) av et endelig antall tall er lik det resiproke , eller inverse, av det aritmetiske gjennomsnittet av de resiproke av disse verdiene og anbefales for gjennomsnittshastigheter.

Således, gitt n tall x 1 , x 2 , ... , x n vil den harmoniske gjennomsnittet være lik:

${H}={\frac {n}{\sum{i=1}^{n}{\cfrac {1}{x_{i}}}}}={\frac {n}{{ \ cfrac {1}{x_{1}}}+\cdots +{\cfrac {1}{x_{n}}}}}$

Det harmoniske gjennomsnittet er lite påvirket av eksistensen av visse verdier som er mye større enn settet med andre, og er i stedet følsomme for verdier som er mye mindre enn settet.

Det harmoniske gjennomsnittet er ikke definert i tilfelle det er en nullverdi.

Funksjoner

Den inverse av det harmoniske gjennomsnittet er det aritmetiske gjennomsnittet av inversene til verdiene til variabelen.
Du kan alltid gå fra et harmonisk gjennomsnitt til et aritmetisk gjennomsnitt ved å transformere dataene på en passende måte.
Det harmoniske gjennomsnittet er alltid mindre enn eller lik det aritmetiske gjennomsnittet, siden for ethvert positivt reelt tall : $x_{i}>0$

${\frac {n}{{\cfrac {1}{x_{1}}}+\dots +{\cfrac {1}{x_{n}}}}}\leq {\frac {x_{ 1}+\dots +x_{n}}{n}}$

Fordel

Den vurderer alle verdiene til fordelingen, og i visse tilfeller er den mer representativ enn det aritmetiske gjennomsnittet.

Ulemper

Påvirkningen av små verdier og det faktum at det ikke kan bestemmes i fordelinger med verdier lik null; av denne grunn er bruken ikke tilrådelig i distribusjoner der det er svært små verdier.

Det brukes vanligvis til gjennomsnittlige hastigheter, tider, utbytter, etc.

Kuriosa

Det harmoniske gjennomsnittet oppstår naturlig ved beregning av Paasche-indeksen , et av de vanligste indekstallene . Tenk på en tidsserie som er et resultat av å legge til den nominelle verdien av produksjon eller utgifter til varer. For å isolere endringer i mengder fra endringer i prisene, fastsetter Laspeyres-indeksen prisene fra forrige periode og sammenligner dagens utgifter med gårsdagens priser med gårsdagens utgifter. $p_{1,t}q_{1,t}+\cdots +p_{n,t}q_{n,t}$ $p_{i,t}q_{i,t}$ $n$

L_{t}={\frac {\sum{i=1}^{n}p_{i,t-1}q_{i,t}}{\sum{i=1}^{n} p_{i,t-1}q_{i,t-1}}}=\sum i=1}^{n}{\frac {q_{i,t}}{q_{i,t -1}} }{\frac {p_{i,t-1}q_{i,t-1}}{\sum i=1}^{n}p_{i,t-1}q_{i ,t-1}} }

Ved å la prisene stå fast, tolkes det som at de kun reflekterer endringer i mengder eller reelle. Det kan også ses at det er et gjennomsnitt der endringen i varemengden vises vektet av vekten av utgifter på denne varen over totalforbruk. $L_{t}$ $Yo$

Paasche-indeksen, omvendt, fortsetter med å fikse dagens priser: den sammenligner utgifter i dag med utgifter i går hvis dagens priser hadde seiret.

P_{t}={\frac {\sum{i=1}^{n}p_{i,t}q_{i,t}}{\sum{i=1}^{n} p_{ i,t}q_{i,t-1}}}.

Fra denne definisjonen kan vi ikke få et vektet gjennomsnitt som før. Men hvis formelen anses som invertert, skjer det det

{\frac {1}{P_{t}}}={\frac {\sum​​i=1}^{n}p_{i,t}q_{i,t-1}}{\ sum i=1}^{n}p_{i,t}q_{i,t}}}=\sum i=1}^{n}{\frac {q_{i,t-1} }{q_{ i,t}}}{\frac {p_{i,t}q_{i,t}}{\sum{i=1}^{n}p_{i,t}q_{i, y}}}

men da

P_{t}=\left(\sum​​i=1}^{n}{\frac {1}{\frac {q_{i,t}}{q_{i,t-1}} }}{\frac {p_{i,t}q_{i,t}}{\sum{i=1}^{n}p_{i,t}q_{i,t}}}\right)^ { -1}.

Det vil si at Paasche-indeksen viser seg å være det harmoniske gjennomsnittet av endringene i mengdene i hver av varene.

Se også

Referanse

Bibliografi

Statistical Analysis , Ya-lun Chou, Holt International, 1969, ISBN 0030730953 .
'Introduksjon til økonomisk og forretningsstatistikk. Teori og praksis.' av Fco Javier Martín-Pliego López, redaksjonell Thomson, 2007 ( Madrid ).
'Business Statistics Manual med løste øvelser' av Eva Ropero, María Eleftheriou, Luana Gava og Eva Romero. Redaksjonelle Delta-publikasjoner. 2008 (Madrid).