Separasjon av variabler metode

Separasjon av variabler-metoden refererer til en prosedyre for å finne en bestemt fullstendig løsning på visse problemer som involverer partielle differensialligninger som en serie hvis termer er produktet av funksjoner som har de "separate variablene". Det er en av de mest produktive metodene i matematisk fysikk for å finne løsninger på fysiske problemer beskrevet av differensialligninger av partielle deriverte.

Det samme navnet brukes på måten å lete etter løsninger på vanlige differensialligninger av en viss type som lar dem løses ved hjelp av kvadraturer av funksjoner som inneholder de separate variablene.

Differensialligninger i partielle deriverte

Metoden brukes til å finne komplette delløsninger, ikke generelle løsninger, avhengig av et tellbart sett med vilkårlige konstanter, som gjør det mulig å løse både initialverdiproblemer og grenseproblemer og til og med problemer som involverer forhold av begge typer.

Eksempel: Andreordens partielle deriverte ligninger

For å illustrere metoden vurderes homogene partielle differensialligninger med to uavhengige variabler og homogene randbetingelser. I de følgende avsnittene vil kravene og mer generelle tilfeller bli diskutert. Beskrivelsen av prosedyren i denne delen vil bli gjort samtidig for de tre kanoniske typene av andreordens partielle differensialligninger (elliptiske, parabolske og hyperbolske ligninger), og spesifiserer startbetingelsene (IC) og grensebetingelsene (CF) for hvert tilfelle.

Det hyperbolske tilfellet vil ha formen:

( 1a ) ${\frac {\partial 2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial 2}u}{\partial x^{2}}}, \quad c\in \mathbb {R} ,x\in [0,L];t\in \mathbb {R}++},\qquad \qquad {\begin{cases}u(0 ,t)+h_ {1}u'_{x}(0,t)=0&{\mbox{CF1}}\\u(L,t)+h_{2}u'_{x}(L, t)=0&{ \mbox{CF2}}\\u(x,0)=f_{1}(x);\ u'_{t}(x,0)=f_{2}(x)&{ \mbox{CI1; CI2}}\end{cases}}$

Det parabolske tilfellet vil ha formen:

( 1b ) ${\frac {\partial u}{\partial t}}=k{\frac {\partial−2}u}{\partial x^{2}}},\quad k\in \mathbb { R } ,x\in [0,L];t\in \mathbb {R}++,\qquad \qquad {\begin{cases}u(0,t)+h_{1}u'_{ x}( 0,t)=0&{\mbox{CF1}}\\u(L,t)+h_{2}u'_{x}(L,t)=0&{\mbox{CF2}}\ \u( x,0)=f_{3}(x)&{\mbox{CI1}}\end{cases}}$

Og det elliptiske tilfellet ville ha formen:

( 1c ) ${\frac {\partial 2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial 2}u}{\partial y^{2}}}=0 ,x\in [0,a];y\in [0,b],\qquad \qquad {\begin{cases}u(0,y)+h_{1}u'_{x}(0,y )=0&{ \mbox{CF1}}\\u(a,y)+h_{2}u'_{x}(a,y)=0&{\mbox{CF2}}\\u(x,0 )=f_{ 4}(x);\ u(x,b)=f_{5}(x)&{\mbox{CF3}}\end{cases}}$

Separasjon av variabler-metoden består i å lete etter en løsning som er et produkt av avhengige funksjoner hver av en av variablene. For hyperbolske og parabolske tilfeller, en løsning av formen:

( 2a,b ) $u(x,t)= M(x)N(t)\,$

Og for det elliptiske tilfellet:

( 2c ) $u(x,y)= M(x)N(y)\,$

Ved å erstatte u for disse uttrykkene i den tilsvarende differensialligningen og omgruppere begrepene, kommer vi til de hyperbolske (CH), parabolske (CP) og elliptiske (CE) tilfellene:

( 3 ) $\begin{cases} \cfrac{1}{c^2}\cfrac{N''(t)}{N(t)}=\cfrac{M''(x)}{M(x)} & \ mbox{(CH)}\\ \cfrac{1}{k}\cfrac{N'(t)}{N(t)}=\cfrac{M''(x)}{M(x)} og \ mbox{(CP)}\\ -\cfrac{N''(y)}{N(y)}=\cfrac{M''(x)}{M(x)} og \mbox{(CE)} \end{cases}$

Siden hvert av de to medlemmene av disse uttrykkene avhenger av forskjellige variabler og likhet må gjelde for enhver t, x, y, er den eneste muligheten at hvert av medlemmene er lik en fast konstant. Å angi den konstanten som uttrykkene ovenfor kan skrives om som: $\scriptstyle -\lambda$

( 4 ) $M''(x)=-\lambda M(x)\quad (\mbox{CH,CP,CE});\qquad \qquad \begin{cases} N''(t)+ \lambda c^2N( t)=0 & \mbox{(CH)}\\ N'(t)+k\lambda N(t)=0 & \mbox{(CP)}\\ N''(y)-\lambda N( y)=0& \mbox{(CE)} \end{cases}$

Alt dette har gjort det mulig å gå fra en ligning i partielle deriverte til to separate ordinære ligninger for hver variabel. Når problemet er redusert til vanlige differensialligninger, kreves funksjonen for å verifisere grensebetingelsene. Faktisk, hvis løsningen verifiserer de homogene grensebetingelsene i den tilsvarende variabelen, vil funksjonen nødvendigvis verifisere dem siden: $\scriptstyle M(x)$ $\scriptstyle u=MN$ $\scriptstyle M(x)$

$u(0,t) + h_1 u'_x(0,t)=0 \Høyrepil \forall t\in\R^+:N(t)[M(0)+h_1M'(0)]=0 \Høyrepil M(0)+h_1M'(0)=0$

og tilsvarende for resten av forholdene. Dette ville ikke nødvendigvis skjedd dersom forholdene ikke var homogene. På den annen side må funksjonen være en løsning på et vanlig Sturm-Liouville-problem: $\scriptstyle M(x)$

( 5 ) $M''(x) = \lambda M(x),\qquad \begin{cases} M(0)+h_1M'(0) = 0\\ M(\alpha)+h_2M'(\alpha) = 0 \ slutt{cases}$

Hvor:

\alpha = L\,

i hyperbolske og parabolske tilfeller.

\alfa = a\,

i det elliptiske tilfellet.

Sturm-Liouville-teorien viser at det forrige problemet bare har en løsning for et tellbart sett med verdier av ( egenverdier til differensialoperatoren), disse vil bli betegnet som og den tilsvarende egenfunksjonen ( egenvektor ) vil bli betegnet som . Opptellingskravet er veldig viktig, siden den komplette spesielle løsningen, gitt den lineære karakteren til den opprinnelige ligningen, lar oss skrive nevnte løsning som en tellbar sum. Gitt verdiene , kan ligning ( 4 ) løses for å få følgende funksjoner for , for de kanoniske tilfellene vi har: $\scriptstyle \lambda$ $\scriptstyle \lambda_n,\ n\in\mathbb{N}$ $\scriptstyle M_n(x)$ $\scriptstyle \lambda_n$ $\scriptstyle N_n(\cdot)$

( 6 ) $\begin{cases} N_n(t)= a_n\cos(\sqrt{\lambda_n}t)+ b_n\sin(\sqrt{\lambda_n}t) & \mbox{(CH)}\\ N_n(t)= a_ne^{-k\lambda_nt} & \mbox{(CP)}\\ N_n(y)= a_ne^{\sqrt{\lambda_n}y} + b_ne^{-\sqrt{\lambda_n}y} & \mbox {(CE)} \end{cases}$

Hvor er vilkårlige konstanter som vil bli bestemt senere basert på grensebetingelsene. Den komplette spesielle løsningen kan nå uttrykkes som følgende serie: $\scriptstyle a_n,\ b_n$

( 7 ) $u = \sum_{n=1}^\infty u_n = \sum_{n=1}^\infty M_n N_n$

Det siste trinnet er å bestemme konstantene slik at startbetingelsene er oppfylt. For det hyperbolske tilfellet har vi: $\scriptstyle a_n,\ b_n$

( 8a ) $\begin{cases} u(x,0)= \sum_{n=1}^\infty M_n(x)N_n(0) = \sum_{n=1}^\infty a_nM_n(x) = f_1(x) \\ u'_t(x,0)= \sum_{n=1}^\infty M_n(x)N'_n(0) = \sum_{n=1}^\infty c\sqrt{\lambda_n}b_nM_n (x) = f_2(x) \end{cases}$

Det vil si at koeffisientene sammenfaller med de generaliserte n-te Fourier-koeffisientene til funksjonene , assosiert med grunnlaget for egenfunksjoner , spesifikt: $\scriptstyle f_1(x),\ f_2(x)$ $\scriptstyle M_n(x)$

( 9a ) $a_n = \int_0^L f_1(x)M_n(x) dx; \qquad b_n = \frac{1}{c\sqrt{\lambda_n}}\int_0^L f_2(x)M_n(x) dx$

Analogt for det parabolske tilfellet har vi:

( 8b ) $u(x,0)= \sum_{n=1}^\infty M_n(x)N_n(0) = \sum_{n=1}^\infty a_nM_n(x) = f_3(x)$

( 9b ) $a_n = \int_0^L f_3(x)M_n(x) dx$

Og for det elliptiske tilfellet har vi:

( 8c ) $\begin{cases} u(x,0)= \sum_{n=1}^\infty M_n(x)N_n(0) = \sum_{n=1}^\infty (a_n+b_n)M_n(x) = f_4(x)\\ u(x,b)= \sum_{n=1}^\infty M_n(x)N_n(b) = \sum_{n=1}^\infty (a_n e^{b\ sqrt{\lambda_n}}+ b_n e^{-b\sqrt{\lambda_n}})M_n(x) = f_5(x) \end{cases}$

( 9b ) $a_n+b_n = \int_0^L f_4(x)M_n(x) dx; \qquad a_n e^{b\sqrt{\lambda_n}}+ b_n e^{-b\sqrt{\lambda_n}} = \int_0^L f_5(x)M_n(x) dx$

Begrensninger og observasjoner

I prinsippet vil enhver differensialligning i partielle deriverte slik at når man leter etter løsninger i form av produkter av funksjoner til en enkelt variabel, gir opphav til vanlige differensialligninger for hver av variablene, kan den løses ved separasjon av variabler. Spesielt kan alle andre ordens partielle differensialligninger med konstante koeffisienter løses på denne måten, bortsett fra de som inneholder kryssderivater.
For at fremgangsmåten skal være anvendelig, må grensebetingelsene også oppfylle noen formkrav, samt formen til området av rom hvor den partielle differensialligningen er definert. Disse kravene stammer fra behovet for at prosedyren skal føre til et vanlig Sturm-Liouville-problem for noen av funksjonene som er involvert i separasjonen av variabler. Disse kravene er av to typer:

1. Grensen for området der differensialligningen er definert, må tillate at grensebetingelsene kan formuleres av funksjoner med de separerte variablene. For eksempel, hvis området er en sirkel med radius R , i kartesiske koordinater er denne grensen der grensebetingelsene vil ha formen:

\scriptstyle x^2+y^2=R^2

u(x,y)|_{\{x^2+y^2=R^2\} } = f(x,y)

som ikke tillater å uttrykkes i separate variabler x og y , og derfor vil det i disse koordinatene være umulig å definere et regulært Sturm-Liouville-problem for en funksjon som bare involverer én av de to variablene. Imidlertid kan de samme grensebetingelsene uttrykt i polare koordinater separeres:

u(R,\theta)|_{\{\rho=R\} } = \tilde{f}(\theta); \qquad \qquad [u(r,0)=u(r,2\pi),\ u'_\theta(r,0)=u'_\theta(r,2\pi)]

2. Grensebetingelsene for å anvende separasjonen av variabler må være homogene. Når de ikke er det, kan det i startproblemet gjøres en funksjonsendring som gir opphav til et tilsvarende problem men med homogene randbetingelser.

Laplacian i sylindriske koordinater

Separasjonen av variabler for den radielle koordinaten fører til et Sturm-Liouville-problem hvis løsninger er gitt i form av Bessel-funksjonene .

Laplacian i sfæriske koordinater

Separasjonen av variabler for vinkelkoordinatene fører til et Sturm-Liouville-problem hvis løsninger er gitt i form av sfæriske harmoniske . Mens den separate funksjonen som avhenger av den radielle koordinaten er en løsning av en Euler-Cauchy differensialligning som er lett integrerbar fordi den kan reduseres til en lineær ligning med konstante koeffisienter .

Inhomogene problemer

Noen lineære ligninger i ikke-homogene partielle derivater av typen:

$\mathcal{L}[u] = g$

kan finnes ved separasjon av variabler hvis løsningen på problemet skrives ved å bruke superposisjonsprinsippet som summen av to forskjellige funksjoner, som hver er en løsning på et problem som kan løses ved separasjon av variabler:

$u = u_h+ u_g; \qquad \mathcal{L}[u_h] =0,\ \mathcal{L}[u_g] =g$

Der startbetingelsene for er identiske med den opprinnelige problemstillingen, mens betingelsene for tas som homogene. Prosedyren er lik den som brukes til å konvertere et Dirichlet- problem til et Poisson-problem og omvendt. $\scriptstyle u_h$ $\scriptstyle u_g$

Vanlige differensialligninger

For at en ligning skal tillate å løses ved separasjon av variabler, må den oppfylle noen spesielle formkrav, for eksempel en formlikning:

( * ) $F(x,y)\frac{dy}{dx}+G(x,y)=0$

Den tillater separasjon av variabler hvis funksjonene er produkter av funksjoner som bare inneholder en av de to variablene, det vil si at de har formen: $\scriptstyle F(\cdot), G(\cdot)$

$F(x,y)=f_1(x)g_1(y), \quad G(x,y)=f_2(x)g_2(y)$

I så fall er den generelle løsningen av ligningen ( * ) av formen:

$\int {\frac {g_{1}(y)}{g_{2}(y)}}dy+\int {\frac {f_{2}(x)}{f_{1}(x) }}dx=0$

Programvare

Xcas : [ 1 ] split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]

Se også

Referanser

^ "Symbolisk algebra og matematikk med Xcas" .

Bibliografi

Spiegel, M.; Abellanas, L. (1988). «24. Grunnleggende differensialligninger og deres løsninger”. Anvendte matematiske formler og tabeller . Madrid: McGraw-Hill. s. 91-3. ISBN 84-7615-197-7 .
Marcellan, F.; Casasus, L.; Zarzo, A. (1990). "femten. Ligninger i partielle deriverte av andre orden". Differensialligninger: Lineære problemer og anvendelser . Madrid: McGraw-Hill. s. 399-404. ISBN 84-7615-511-5 .
Polyanin, Andrei D. (2001-11-28). Håndbok for lineære partielle differensialligninger for ingeniører og forskere . Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-299-9 .
Myint-U, Tyn; Debnath, Lokenath (2007). Lineære partielle differensialligninger for forskere og ingeniører . Boston, MA: Birkhäuser Boston. ISBN 978-0-8176-4393-5 . doi : 10.1007/978-0-8176-4560-1 . Hentet 29. mars 2011 . ( brutt lenke tilgjengelig på Internet Archive ; se historikk , første og siste versjon ).
Teschl, Gerald (2012). Vanlige differensialligninger og dynamiske systemer . Graduate Studies in Mathematics (på engelsk) 140 . Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0 .

Eksterne lenker

EDP-kurs: Separasjon av variabler (UNAM)