Newton-Cotes formler

I numerisk analyse er Newton-Cotes-formlene (oppkalt etter Isaac Newton og Roger Cotes ) en gruppe numeriske integrasjonsformler av interpolasjonstypen , der funksjonen evalueres på ekvidistante punkter, for å finne en omtrentlig verdi av integralet . Jo flere intervaller funksjonen deler, jo mer nøyaktig blir resultatet.

Denne metoden er effektiv hvis verdiene til funksjonen ved punkter med lik avstand er kjent. Hvis punktene der funksjonen evalueres kan endres, er andre metoder som Gaussisk kvadratur sannsynligvis mer effektive.

Introduksjon

For numerisk integrasjon av bruk av Newton-Cotes-formlene, er intervallet delt inn i like intervaller. Dette gir punkter hvor funksjonen vil bli evaluert: $\int a}^{b}f(x)dx$ $[a,b]$ $n$ $n+1$

a\leq x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}\leq b.

Hvis og kalles lukkede Newton-Cotes-formler siden sluttintervallene er inkludert i integralet, hvis de tvert imot ikke tas i betraktning, kalles de åpne Newton-Cotes-formler . For beregningen vil følgende funksjon bli brukt: $a=x_{0}$ $b=x_{n}$

p(x)=\sum​​i=0}^{n}f(x_{i})L_{in}(x)

hvor:

L_{in}(x)={\frac {(x-x_{0})\cdots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots (x- x_{n})}{(x_{i}-x_{0})\cdots (x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\cdots (x_ {i}-x_{n})}}

er Lagrange-polynomet , så det følger det

\int{a}^{b}p(x)dx=(ba)\sum{i=0}^{n}f(x_{i}){\frac {1}{(ba )} }\int a}^{b}L_{in}(x)dx.

Denne funksjonen uttrykkes som følger

\int a}^{b}f(x)dx\approx \int a}^{b}p(x)dx=(ba)\sum i=0}^{n }w_{i}f (x_{i})

Hvor "vektene" w i er definert av

w_{i}={\frac {1}{(ba)}}\int a}^{b}L_{in}(x)dx

Lukket Newton-Cotes formler

Dette er noen av de lukkede Newton-Cotes-formlene.

Notasjonen er en forkortelse av , med og graden. $\displaystyle f_{i}$ $\displaystyle f(x_{i})$ $\displaystyle x_{i}=a+i\ ganger h$ $\displaystyle h={\frac {ba}{n}}$ $\displaystyle n$

Trapesformet regel

Trapesregelen består i å finne det omtrentlige integralet til en funksjon gjennom et førstegradspolynom, det vil si å slå sammen punktene der funksjonen vil bli evaluert ved hjelp av en rett linje.

\int{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {h}{2}}(f_{0}+f_{1})

Og feilen er:

$-{\frac {h^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi)$

Å være et tall mellom a og b . $\xi$

Simpsons regel

Simpsons regel (oppkalt etter Thomas Simpson ) finner det omtrentlige integralet til en funksjon ved å bruke et andre- eller tredjegradspolynom.

Simpsons regel 1/3

Simpsons 1/3-regel bruker tre påfølgende punkter der funksjonen evalueres gjennom et andregradspolynom.

\int{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{6}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})

Og feilen er:

-{\frac {h^{5}}{90}}f^{(4)}(\xi ),

er et tall mellom a og b . $\xi$

Simpsons 3/8-regel

Simpsons 3/8-regel bruker fire påfølgende punkter hvor funksjonen evalueres gjennom et tredjegradspolynom.

\int{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {3h}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{ 3 })

Og feilen er:

-{\frac {3h^{5}}{80}}f^{(4)}(\xi ),

Å være et tall mellom a og b . $\xi$

Booles regel

Booles regel (oppkalt etter George Boole ) bruker fem påfølgende punkter med lik avstand for å beregne det omtrentlige integralet til funksjonen ved å bruke et fjerdegrads polynom.

\int{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {2t}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3} + 7f_{4})

Og feilen er:

$-{\frac {8h^{7}}{945}}\,f^{(6)}(\xi)$

Å være et tall mellom a og b . $\xi$

Femte ordens regel

Femteordensregelen bruker seks påfølgende punkter med lik avstand for å beregne det omtrentlige integralet til funksjonen ved å bruke et femtegradspolynom.

\int{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {5t}{288}}(19f_{0}+75f_{1}+50f_{2}+50f_{3} + 75f_{4}+19f_{5})

Sjette ordens regel

Den sjette ordensregelen bruker syv påfølgende punkter med lik avstand for å beregne det omtrentlige integralet til funksjonen ved å bruke et sjettegrads polynom.

\int{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {h}{140}}(41f_{0}+216f_{1}+27f_{2}+272f_{3} + 27f_{4}+216f_{5}+41f_{6})

Åpne Newton-Cotes formler

Dette er noen av de åpne Newton-Cotes-formlene.

Midtpunktsregel – Riemann-integrasjon

I denne metoden er funksjonen delt inn i rektangler, som skal ha en høyde lik verdien av funksjonen i midtpunktet. Dermed vil det omtrentlige integralet beregnes ved hjelp av et polynom med grad null.

\int{a}^{b}f(x)dx\sim (ba)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)

Og feilen er:

{\frac {(ba)^{3}}{24}}\,f^{(2)}(\xi)

Å være et tall mellom a og b . $\xi$

Sammensatte regler

Newton-Cotes-formlene øker presisjonen hvis antall intervaller funksjonen er delt inn i økes, med andre ord mens intervallene blir mindre. Siden intervallet generelt er stort, er det metoder som deler dette intervallet inn i mindre underintervaller, og på disse brukes Newton-Cotes-formlene, summen av disse underintervallene er kjent som sammensatte regler . Det skal bemerkes at presisjonen øker, men på bekostning av å redusere effektiviteten til metoden når det gjelder varighetstid og mulige avrundingsfeil. $[a,b]$

Sammensatt trapesregel

Dette er et eksempel på en sammensatt regel.

\int{a}^{b}f(x)dx\sim {\frac {ba}{n}}\left({\frac {f(a)+f(b)}{2} } +\sum i=1}^{n-1}f(x_{i})\høyre)

hvor er delintervallene, $\displaystyle x_{i}=a+i\ ganger h$

slikt og $\ x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n-1}<x_{n}$ $\ a=x_{0},\;x_{n}=b$

hvor: avstanden mellom delintervallene. $\ h={\frac {ba}{n}}$

Referanser

Programmering og numeriske metoder: Numerisk integrasjon, Newton-Cotes formler, Gauss formler. Prof. Carlos Conde Lázaro Prof. Arturo Hidalgo López Prof. Alfredo López. Mars 2007. Institutt for anvendt matematikk og datametoder – ETSIM – UPM

Newton-Cotes formler

Introduksjon

Lukket Newton-Cotes formler

Trapesformet regel

Simpsons regel

Booles regel

Femte ordens regel

Sjette ordens regel

Åpne Newton-Cotes formler

Midtpunktsregel – Riemann-integrasjon

Sammensatte regler

Sammensatt trapesregel

Referanser

Eksterne lenker