Konvolutt (bølger)

I fysikk og ingeniørfag er omhyllingen til et oscillerende signal en jevn kurve som beskriver dets ytterpunkter. Dermed generaliserer konvolutten konseptet konstant amplitude til øyeblikkelig amplitude . Figuren illustrerer en modulert sinusbølge som varierer mellom en øvre og nedre envelope. Konvoluttfunksjonen kan være en funksjon av tid, rom, vinkel eller til og med hvilken som helst variabel.

Eksempel: pulserende bølger

En vanlig situasjon som resulterer i en konvoluttfunksjon i både rom x og tid t er superposisjonen av to bølger med nesten samme bølgelengde og frekvens: [ 1 ]

{\begin{aligned}F(x,\ t)&=\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda -\Delta \lambda }}-(f+\Delta f)t\right)\right]+\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda +\Delta \lambda }}-(f-\Delta f)t\right)\ høyre]\\[6pt]&\ca. 2\cos \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda​​\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right) \right]\ \sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\right]\end{justert}}

som bruker den trigonometriske formelen for summen av to sinusbølger , og tilnærmingen Δ λ ≪ λ :

{\frac {1}{\lambda \pm \Delta \lambda }}={\frac {1}{\lambda }}\ {\frac {1}{1\pm \Delta \lambda /\lambda }}\ca {\frac {1}{\lambda }}\mp {\frac {\Delta \lambda }{\lambda 2}}}.

Her er modulasjonsbølgelengden λ mod gitt av: [ 1 ] [ 2 ]

\lambda​​\rm {mod}}={\frac {\lambda−2}}{\Delta \lambda }}\ .

Modulasjonsbølgelengden er dobbelt så stor som for selve innhyllingen fordi hver halve bølgelengde av den modulerende cosinusbølgen styrer de positive og negative verdiene til den modulerte sinusbølgen. På samme måte er slagfrekvensen den til innhyllingen, to ganger den til den modulerende bølgen, eller 2Δ f .

Hvis denne bølgen er en lydbølge, hører øret frekvensen assosiert med f , og amplituden til denne lyden varierer med pulsfrekvensen.

Fase og gruppehastighet

Argumentet til de ovennevnte sinusoidene pluss en faktor 2π er:

\xi​​C}=\left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\ ,

\xi​​E}=\left({\frac {x}{\lambda​​\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\ ,

med underskriftene C og E som refererer til transportøren og konvolutten . Den samme bølgeamplituden F resulterer fra de samme verdiene av ξ C og ξ E , som hver kan gå tilbake til samme verdi ved forskjellige men passende relaterte valg av x og t . Denne invariansen betyr at man kan spore disse bølgeformene i rommet for å finne hastigheten til en posisjon med fast amplitude når den forplanter seg i tid; for at bærebølgeargumentet skal forbli det samme, er betingelsen:

\left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)=\left({\frac {x+\Delta x}{\lambda }}-f(t+\Delta t) \Ikke sant)\ ,

som viser at for å opprettholde en konstant amplitude er avstanden Δx relatert til tidsintervallet Δt med den såkalte fasehastigheten vp

v_{\rm {p}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda f\ .

På den annen side viser de samme hensyn at konvolutten forplanter seg med den såkalte gruppehastigheten v g :

v_{\rm {g}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda​​\rm {mod}}\Delta f=\lambda 2}{\frac {\ Delta f}{\Delta \lambda }}\ .

Et mer vanlig uttrykk for gruppehastigheten oppnås ved å introdusere bølgevektoren k :

k={\frac {2\pi }{\lambda }}\ .

Vi legger merke til at for små endringer Δ λ , er størrelsen på den tilsvarende lille endringen i bølgevektoren, si Δ k :

\Delta k=\left|{\frac {dk}{d\lambda }}\right|\Delta \lambda =2\pi {\frac {\Delta \lambda }{\lambda 2}} }\ ,

slik at hastigheten til gruppen kan skrives om som:

v_{\rm {g}}={\frac {2\pi \Delta f}{\Delta k}}={\frac {\Delta \omega }{\Delta k}}\ ,

hvor ω er frekvensen i radianer/s: ω = 2πf . I alle medier er frekvensen og bølgevektoren relatert med en spredningsrelasjon ω = ω ( k ) , og hastigheten til gruppen kan skrives:

v_{\rm {g}}={\frac {d\omega (k)}{dk}}\ .

I et medium som det klassiske vakuumet er spredningsforholdet til elektromagnetiske bølger:

\omega =c_{0}k

hvor c 0 er lysets hastighet i klassisk vakuum. For dette tilfellet er fase- og gruppehastighetene c 0 .

I såkalte dispersive medier kan dispersjonsforholdet være en komplisert funksjon av bølgevektoren, og gruppe- og fasehastighetene er ikke de samme. For eksempel, for ulike typer bølger som vises av atomvibrasjoner ( fononer ) i GaAs, er spredningsrelasjonene vist i figuren for ulike retninger av bølgevektoren k . I det generelle tilfellet kan fase- og gruppehastighetene ha forskjellige retninger.

Eksempel: konvoluttfunksjon tilnærming

I fysikk av kondensert stoff kan en energiegenfunksjon for en mobil ladningsbærer i en krystall uttrykkes som en Bloch-bølge :

\psi{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\ mathbf {r} )\ ,

hvor n er indeksen til båndet (for eksempel lednings- eller valensbånd) r er en romlig plassering og k er en bølgevektor . Eksponentialen er en sinusformet varierende funksjon som tilsvarer en sakte skiftende konvolutt som modulerer den raskt varierende delen av bølgefunksjonen u n, k som beskriver oppførselen til bølgefunksjonen nær kjernene til gitteratomene. Konvolutten er begrenset til verdier k innenfor et område begrenset av Brillouin-sonen til krystallen, og det begrenser hvor raskt den kan variere med plassering r .

For å bestemme oppførselen til bærere ved bruk av kvantemekanikk , brukes ofte konvolutttilnærmingen der Schrödinger-ligningen er forenklet til kun å referere til konvoluttoppførselen, og grensebetingelsene brukes direkte på konvoluttfunksjonen, i stedet for fullt ut. bølgefunksjon. For eksempel styres bølgefunksjonen til en bærer fanget nær en urenhet av en konvoluttfunksjon F som styrer en superposisjon av Bloch-funksjoner:

\psi (\mathbf {r} )=\sum​​\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }u_{\mathbf {k } }(\mathbf {r} )\ ,

hvor Fourier-komponentene til konvolutten F ( k ) er funnet fra den omtrentlige Schrödinger-ligningen. I noen applikasjoner erstattes den periodiske delen u k med verdien nær båndkanten, si k = k 0 , og deretter:

\psi (\mathbf {r} )\approx \left(\sum​​\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }\right )u_{\mathbf {k} =\mathbf {k} 0}}(\mathbf {r} )=F(\mathbf {r} )u_{\mathbf {k} =\mathbf {k}{ 0}} (\mathbf {r} )\ .

Eksempel: diffraksjonsmønstre

Diffraksjonsmønstre med flere spalter har konvolutter bestemt av diffraksjonsmønsteret med enkelt spalt. For en enkelt spalte er mønsteret gitt av:

I_{1}=I_{0}\sin 2}\left({\frac {\pi d\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\left({\frac {\ pi d \sin \alpha }{\lambda }}\right)^{2}\ ,

hvor α er diffraksjonsvinkelen, d er bredden på spalten, og λ er bølgelengden. For flere spalter er mønsteret

I_{q}=I_{1}\sin 2}\left({\frac {q\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\sin 2}\ venstre({\ frac {\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)\ ,

hvor q er antall spalter og g er gitterkonstanten. Den første faktoren, resultatet av en enkelt spalte I 1 , modulerer den raskere varierende andre faktoren som avhenger av antall spalter og deres avstand.

Se også

kompleks konvolutt
Dekomponering i empirisk modus
Konvolutt (matematikk)
Konvoluttdetektor _
Konvoluttsporing
øyeblikkelig fase
Modulering
svinge matematikk
Maks konvoluttkraft
Spektral konvolutt

Referanser

^ a b Blair Kinsman (2002). Wind Waves: Their Generation and Propagation on the Ocean Surface (Reprint of Prentice-Hall 1965-utgaven). Courier Dover-publikasjoner . s. 186. ISBN 0486495116 . Siter feil: Ugyldig tag ; navnet "Kinsman" er definert flere ganger med forskjellig innhold <ref>
↑ Mark W. Denny (1993). Luft og vann: Biologien og fysikken til livets medier . Princeton University Press . s. 289 . ISBN 0691025185 .