Eksentrisk anomali

Eksentrisk anomali, betegnet: E, er for en planet vinkelen mellom perihelium og planetens posisjon projisert på en sirkel med samme radius og samme sentrum som store halvakse for baneellipsen målt i baneellipsens origo.

Eksentrisk anomali er en av flere vinkelparametere innført av Johannes Kepler. I tillegg til eksentrisk anomali er de to viktigste midlere anomali og sann anomali. Begrepet «anomali» referer til at planetbanene avviker fra sirkler.^[1]

«Eksentrisk» viser til at vinkelen refererer seg til ellipsens sentrum, som er eksentrisk i forhold til solen.^[1]

Punktet P, planetens posisjon, har parametriseringen ${\displaystyle (a\cos E,b\sin E)}$. Vinkelen ${\displaystyle E}$ peker ikke mot planeten unntatt når ${\displaystyle E}$ er et heltall ganger 90 grader.

Den eksentriske anomalien er relatert til midlere anomali gjennom Keplers ligning:

${\displaystyle M=E-e\cdot \sin E}$

der ${\displaystyle e\,\!}$ er banens eksentrisitet og ${\displaystyle M\,\!}$ er planetens midlere anomali. Vinklene ${\displaystyle M}$ og ${\displaystyle E}$ må gis i radianer.

Ligningen har ikke en endelig analytisk løsning for ${\displaystyle E\,\!}$ for gitte ${\displaystyle M\,\!}$ og ${\displaystyle e\,\!}$. Ligningen løses i praksis med en numerisk iterativ metode, for eksempel Newton-Raphsons metode.

Hvis ${\displaystyle e\,\!}$ er liten, kan i stedet en avkortet rekkeutvikling benyttes:

${\displaystyle {\begin{matrix}E=M+e\cdot \sin M+{\frac {e^{2}}{2!\cdot 2}}(2\sin 2M)+{\frac {e^{3}}{3!\cdot 2^{2}}}(3^{2}\sin 3M-3\sin M)+{\frac {e^{4}}{4!\cdot 2^{3}}}(4^{3}\sin 4M-4\cdot 2^{3}\sin 2M)+....\end{matrix}}}$

Planetens avstand ${\displaystyle r\,\!}$ fra sentrallegemet (solen) (FP i figuren) uttrykt ved ${\displaystyle E}$ finnes som:

${\displaystyle r=a\left(1-e\cdot \cos {E}\right)}$

Når den eksentriske anomalien er beregnet, kan man ut av dette beregne den sanne anomalien, ${\displaystyle \nu \,\!}$ (vinkelen ${\displaystyle f}$ i figuren):

${\displaystyle \nu =2\cdot \tan ^{-1}\left({\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \tan {\frac {E}{2}}\right)}$

Eksentrisk anomali kan også brukes for en satellitts bevegelse rundt jorden, eller for et annet himmellegemes bevegelse rundt et annet, betydelig større sentrallegeme.

• Murray, C.D.; Dermott, S.D. (1999). Solar System Dynamics. Cambridge: Cambridge University Press. 
• Plummer, H.C. (1960). An Introductory treatise on Dynamical Astronomy. New York: Dover Publications.  

Portal:Astronomi